Ecuaciones de segundo grado en Mexico 2026: como resolverlas con la formula general ABC
Guia de la formula cuadratica con identificacion de coeficientes discriminante y 4 ejemplos practicos incluyendo COMIPEMS. Julio 2026.
Cada año, cerca de 300,000 jovenes en la Zona Metropolitana de la Ciudad de Mexico presentan el examen COMIPEMS para entrar a preparatoria. Uno de los temas con mayor peso en el area de matematicas son las ecuaciones de segundo grado. La queja mas comun de los estudiantes: «en la escuela me ensenaron la formula pero nunca entendi de donde salen los numeros ni que hacer si me da numero negativo debajo de la raiz».
Esta guia lo resuelve de frente. La formula general (que tambien se llama formula ABC o formula cuadratica) sirve para resolver cualquier ecuacion de la forma ax² + bx + c = 0. No importa si los numeros son grandes, pequenos, positivos o negativos — la formula siempre funciona. Lo unico que necesitas es identificar correctamente a, b y c, calcular el discriminante, y aplicar la formula. Eso es todo.
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
El simbolo ± da DOS posibles soluciones: x₁ con el signo + y x₂ con el signo −. La expresion (b² − 4ac) bajo la raiz se llama discriminante y determina cuantas soluciones reales existen.
Resuelve cualquier ecuacion de segundo grado al instante con la formula general
Calculadora ecuacion cuadratica →El discriminante — antes de calcular ya sabes cuantas soluciones hay
x₂ = (-b-√Δ) / 2a
Como identificar a, b y c en cualquier ecuacion
⚠ El error mas comun: olvidar el signo negativo de b o c. En x² – 4x + 3 = 0, b = -4 (con signo negativo), NO b = 4. Cuando calculas -b en la formula, -(-4) = +4. Si confundes el signo de b, el numerador de la formula cambia y las soluciones son incorrectas. Siempre escribe el signo de b exactamente como aparece en la ecuacion.
Factorizacion vs formula general — cuando usar cada una
La formula completa desarrollada — un ejemplo paso a paso
PASO 2 — Discriminante: Δ = b² – 4ac = (-4)² – 4×1×3 = 16 – 12 = 4
Δ = 4 > 0 → DOS soluciones reales distintas ✅
PASO 3 — Aplicar la formula:
x = (-b ± √Δ) / (2a) = (-(-4) ± √4) / (2×1) = (4 ± 2) / 2
x₁ = (4 + 2) / 2 = 6/2 = 3
x₂ = (4 – 2) / 2 = 2/2 = 1
PASO 4 — Verificacion (sustituir en la ecuacion original):
x₁=3: 3² – 4×3 + 3 = 9 – 12 + 3 = 0 ✅
x₂=1: 1² – 4×1 + 3 = 1 – 4 + 3 = 0 ✅
VERIFICACION ADICIONAL (Relaciones de Vieta):
Suma de raices = -b/a = -(-4)/1 = 4 → 3+1 = 4 ✅
Producto de raices = c/a = 3/1 = 3 → 3×1 = 3 ✅
Cuatro ejemplos cotidianos de ecuaciones cuadraticas en Mexico
Una pelota se lanza hacia arriba desde una azotea de 20 metros con velocidad inicial de 8 m/s. Cuando toca el suelo?
La altura en funcion del tiempo sigue la ecuacion: h(t) = -4.9t² + 8t + 20. La pelota toca el suelo cuando h = 0: -4.9t² + 8t + 20 = 0. Multiplicando por -1 para que a sea positivo: 4.9t² – 8t – 20 = 0. a = 4.9, b = -8, c = -20. Discriminante: Δ = (-8)² – 4×4.9×(-20) = 64 + 392 = 456. √456 ≈ 21.35. Soluciones: t = (8 ± 21.35) / (2×4.9) = (8 ± 21.35) / 9.8. t₁ = (8+21.35)/9.8 = 29.35/9.8 = 2.99 segundos. t₂ = (8-21.35)/9.8 = -13.35/9.8 = -1.36 (tiempo negativo, no tiene sentido fisico). La pelota toca el suelo a los 3 segundos aproximadamente. El tiempo negativo se descarta porque el problema ocurre hacia el futuro (t ≥ 0).
Un terreno rectangular tiene un lado 5 metros mas largo que el otro y area de 84 m2. Cuales son sus dimensiones?
Sea el lado corto = x metros. El lado largo = x + 5 metros. Area = x(x+5) = 84. Ecuacion: x² + 5x – 84 = 0. a=1, b=5, c=-84. Discriminante: Δ = 5² – 4×1×(-84) = 25 + 336 = 361. √361 = 19 exacto (cuadrado perfecto). Soluciones: x = (-5 ± 19) / 2. x₁ = (-5+19)/2 = 14/2 = 7 metros. x₂ = (-5-19)/2 = -12 (negativo, no aplica para dimensiones). Dimensiones del terreno: lado corto = 7 m, lado largo = 7+5 = 12 m. Verificacion: 7 × 12 = 84 m² ✅. Este es el tipo de problema mas comun en examen COMIPEMS y en problemas de area de secundaria.
Halla dos numeros cuya suma sea 15 y cuyo producto sea 56 (examen tipo SEP)
Sea el primer numero = x. El segundo = 15 – x (porque suman 15). Su producto: x(15-x) = 56. 15x – x² = 56. Reorganizando: x² – 15x + 56 = 0. a=1, b=-15, c=56. Discriminante: Δ = (-15)² – 4×1×56 = 225 – 224 = 1. √1 = 1. Soluciones: x = (15 ± 1) / 2. x₁ = (15+1)/2 = 16/2 = 8. x₂ = (15-1)/2 = 14/2 = 7. Los dos numeros son 7 y 8. Verificacion: 7+8=15 ✅ y 7×8=56 ✅. Este problema aparece con frecuencia en examenes de secundaria y COMIPEMS con diferentes valores. La clave: si los numeros suman S y multiplican P, la ecuacion siempre es x² – Sx + P = 0.
Bomba A llena la cisterna en x horas. Bomba B tarda x+2 horas. Juntas la llenan en 3 horas. Cuanto tarda cada bomba sola?
Tasa de trabajo: Bomba A = 1/x cisternas/hora. Bomba B = 1/(x+2) cisternas/hora. Juntas: 1/x + 1/(x+2) = 1/3. Multiplicando por 3x(x+2): 3(x+2) + 3x = x(x+2). 3x+6 + 3x = x²+2x. 6x+6 = x²+2x. Ecuacion: x² – 4x – 6 = 0. a=1, b=-4, c=-6. Discriminante: Δ = 16 + 24 = 40. √40 = 2√10 ≈ 6.32. Soluciones: x = (4 ± 6.32) / 2. x₁ = (4+6.32)/2 = 5.16 horas. x₂ = (4-6.32)/2 = -1.16 horas (negativo, se descarta). Bomba A: 5.16 horas ≈ 5 horas 10 minutos. Bomba B: 5.16+2 = 7.16 horas ≈ 7 horas 10 minutos. Verificacion: 1/5.16 + 1/7.16 = 0.1938 + 0.1397 = 0.3335 ≈ 1/3 ✅.
Como resolver una ecuacion de segundo grado paso a paso
Escribe la ecuacion en forma estandar: ax² + bx + c = 0. Pasa todos los terminos al mismo lado igualando a cero. Si la ecuacion dice x² + 3x = 10, resta 10 de ambos lados: x² + 3x – 10 = 0. Si dice 2x² = 8x – 6, pasa todo a un lado: 2x² – 8x + 6 = 0. Siempre verifica que el lado derecho sea cero antes de identificar a, b y c.
Identifica a, b y c con sus signos correctos. a = coeficiente de x² (nunca cero). b = coeficiente de x (puede ser cero). c = termino independiente (puede ser cero). En x² – 4x + 3 = 0: a=1, b=-4 (negativo), c=3. El signo es parte del coeficiente. Escribelo junto: no «b es 4 con signo negativo» sino «b = -4». Ese signo entra directamente en la formula como -b = -(-4) = +4.
Calcula el discriminante Δ = b² – 4ac. Primero b² (eleva b al cuadrado — resultado siempre positivo). Luego 4ac (multiplica 4 × a × c). Resta el segundo del primero. Si Δ > 0: continua con la formula para dos soluciones. Si Δ = 0: la solucion unica es x = -b/(2a). Si Δ < 0: la ecuacion no tiene soluciones reales — escribe «no hay solucion real» y listo. La calculadora de ecuaciones cuadraticas muestra el discriminante y las soluciones con todos los pasos.
Aplica la formula y calcula x₁ y x₂. x = (-b ± √Δ) / (2a). Calcula primero √Δ (con calculadora o de memoria si es cuadrado perfecto). Luego calcula x₁ = (-b + √Δ) / (2a) y x₂ = (-b – √Δ) / (2a). Verifica sustituyendo en la ecuacion original: ax² + bx + c debe dar 0 para cada solucion. Alternativa de verificacion rapida: suma de raices = -b/a y producto de raices = c/a.
7 preguntas frecuentes sobre ecuaciones de segundo grado
Que es la formula general ABC para ecuaciones de segundo grado?
La formula general (tambien llamada formula cuadratica o formula ABC) resuelve cualquier ecuacion de la forma ax² + bx + c = 0. La formula es: x = (-b ± raiz cuadrada de (b²-4ac)) dividido entre 2a. Se llama formula ABC porque a, b y c son los tres coeficientes de la ecuacion. El simbolo ± indica dos posibles soluciones: x₁ con signo positivo y x₂ con signo negativo. Estas dos soluciones generalmente dan valores distintos — son las dos raices de la ecuacion cuadratica. La formula siempre funciona para cualquier ecuacion cuadratica con coeficientes reales. En Mexico es parte del programa de matematicas de tercer grado de secundaria y es un tema central en el COMIPEMS para ingreso a preparatoria.
Como identifico a b y c en una ecuacion cuadratica?
Primero escribe la ecuacion en la forma estandar ax² + bx + c = 0 (todos los terminos al mismo lado, cero al otro). Luego: a es el numero que multiplica directamente a x² (con su signo). b es el numero que multiplica a x (con su signo, puede ser negativo o cero). c es el numero sin x (termino independiente, con su signo, puede ser negativo o cero). Ejemplos: 3x² – 7x + 2 = 0: a=3, b=-7, c=2. x² + 4x = 0: a=1, b=4, c=0. x² = 9: pasa el 9 → x² – 9 = 0 → a=1, b=0, c=-9. La senalizacion de los signos es critica: si b es negativo, -b sera positivo en la formula. El error mas comun: leer el valor absoluto de b sin el signo, lo que cambia el resultado de la formula.
Que es el discriminante y que indica?
El discriminante es la expresion b² – 4ac (la parte que va dentro de la raiz cuadrada en la formula general). Se representa con la letra griega Delta. Su valor indica cuantas soluciones reales tiene la ecuacion. Si Δ es mayor que 0: DOS soluciones reales distintas (el caso mas comun). Si Δ es igual a 0: UNA solucion real que se repite, llamada raiz doble. La solucion es x = -b/(2a). Si Δ es menor que 0: NO hay soluciones reales. La raiz cuadrada de un numero negativo no existe en los numeros reales. Calcular el discriminante antes de aplicar toda la formula ahorra tiempo: si Δ es negativo, sabes de inmediato que no hay solucion real sin necesidad de calcular nada mas.
Cuando una ecuacion de segundo grado no tiene solucion real?
Una ecuacion cuadratica no tiene soluciones reales cuando el discriminante b² – 4ac es estrictamente negativo (menor que cero). Ejemplo: x² + 2x + 5 = 0. Discriminante = 2² – 4×1×5 = 4 – 20 = -16. Como -16 es menor que cero, no hay soluciones reales. En la interpretacion grafica: la parabola y = x² + 2x + 5 no cruza el eje x en ningun punto (esta completamente por encima de el). En problemas fisicos o de ingenieria, un discriminante negativo generalmente significa que los datos del problema no tienen sentido con las condiciones planteadas — por ejemplo buscar el momento en que algo llega a una altura que fisicamente no puede alcanzar.
Cuando conviene usar la formula general vs factorizar?
La factorizacion es mas rapida cuando funciona: busca mentalmente dos numeros que sumen b y multipliquen c (cuando a=1). Para x² – 5x + 6 = 0: buscas numeros que sumen -5 y multipliquen 6 → son -2 y -3 → (x-2)(x-3)=0 → x=2 o x=3. Esta busqueda mental toma 10-20 segundos cuando los numeros son enteros pequenos. Usa la formula general cuando: la factorizacion no sale en 30 segundos o las soluciones no son enteros. Cuando el discriminante no es un cuadrado perfecto (las soluciones tendran raiz cuadrada). Cuando los coeficientes son grandes o decimales. Para el COMIPEMS: aprende factorizacion para los casos simples y la formula general para todos los demas. En el examen ambos metodos son validos y producen el mismo resultado.
Como verifico que mis soluciones son correctas?
Dos metodos de verificacion. Metodo 1 — sustitucion directa: reemplaza cada solucion en la ecuacion original y verifica que el resultado sea cero. Para x² – 4x + 3 = 0 con soluciones x=3 y x=1: Para x=3: 9-12+3=0 ✅. Para x=1: 1-4+3=0 ✅. Metodo 2 — Relaciones de Vieta: la suma de las raices debe ser -b/a y el producto debe ser c/a. Para x² – 4x + 3 = 0: suma = 3+1 = 4 = -(-4)/1 ✅. Producto = 3×1 = 3 = 3/1 ✅. El segundo metodo es mas rapido y detecta errores de calculo sin necesidad de sustituir. Si la suma y el producto coinciden con las relaciones de Vieta, las soluciones son correctas.
Para que sirven las ecuaciones de segundo grado en la vida real?
Las ecuaciones cuadraticas modelan muchas situaciones reales. Fisica y movimiento: la altura de un proyectil en funcion del tiempo es una ecuacion cuadratica (h = -4.9t² + v₀t + h₀). Para saber cuando toca el suelo (h=0) se resuelve la cuadratica. Geometria y construccion: encontrar las dimensiones de un terreno, cuarto o recipiente cuando se conoce el area y una relacion entre los lados. Problemas de trabajo compartido: cuando dos maquinas o bombas trabajan a distintas velocidades y se busca el tiempo conjunto. Optimizacion economica: encontrar el precio que maximiza las ganancias cuando la funcion de demanda es lineal (produce una cuadratica en la ganancia). En el COMIPEMS aproximadamente 3-5 de los 128 reactivos de matematicas involucran ecuaciones cuadraticas — su dominio puede marcar la diferencia en el puntaje.
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Nota editorial: Las ecuaciones de segundo grado son parte del programa oficial de matematicas de tercer grado de secundaria en Mexico segun el plan de estudios de la Secretaria de Educacion Publica (SEP). El examen COMIPEMS es administrado por la COMIPEMS (Comision Metropolitana de Instituciones Publicas de Educacion Media Superior). Para informacion sobre fechas y temario del COMIPEMS consulta el sitio oficial en comipems.org.mx.
