Calculadora de Vectores 2D y 3D Online 2026: Magnitud, Suma, Producto Escalar y Vectorial, Ángulo y Proyección
Calculadora completa de vectores en 2 y 3 dimensiones. Calcula magnitud, suma, resta, producto escalar (dot product), producto vectorial (cross product) en 3D, vector unitario, ángulo entre vectores con fórmula coseno y proyección de un vector sobre otro. Toggle 2D/3D instantáneo. Gráfica vectorial con flechas. Pasos completos, PDF y WhatsApp.
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Qué son los vectores y por qué son esenciales en ciencias e ingeniería
Un vector es una cantidad que tiene tanto magnitud (tamaño o módulo) como dirección. Se diferencia de un escalar (que solo tiene magnitud, como temperatura o masa) en que apunta hacia un lugar específico del espacio. En física, la velocidad, la fuerza, el campo eléctrico y el momento angular son vectores: no basta con saber cuánto, hay que saber hacia dónde. En matemáticas, los vectores viven en espacios de dimensión n; en las aplicaciones prácticas más frecuentes son 2D (el plano) o 3D (el espacio tridimensional).
Los vectores aparecen en prácticamente toda disciplina científica y técnica en América Latina. Un ingeniero civil en Lima calcula la resultante de fuerzas sobre una columna sumando vectores de cargas verticales, horizontales y sísmicas. Un piloto de una aerolínea colombiana calcula su velocidad real considerando el vector velocidad del avión más el vector viento. Un programador de videojuegos en Buenos Aires simula movimiento de personajes usando vectores de posición y velocidad. Un físico del CINVESTAV en México calcula campos electromagnéticos como vectores que varían de punto a punto. Esta calculadora hace instantáneas todas las operaciones vectoriales básicas tanto en 2D como en 3D.
Magnitud y vector unitario: la norma y la dirección pura
La magnitud (o módulo o norma) de un vector A = (ax, ay) en 2D es |A| = √(ax² + ay²), que es exactamente el teorema de Pitágoras aplicado a los componentes del vector. En 3D: |A| = √(ax² + ay² + az²). La magnitud es siempre un número no negativo que representa «cuánto» tiene el vector, independientemente de su dirección. El vector unitario (o versor) â = A/|A| tiene magnitud 1 y apunta en la misma dirección que A: captura solo la «dirección pura» del vector original. Los vectores unitarios son fundamentales para describir direcciones en ingeniería de estructuras, aerodinámica y robótica.
Producto escalar (dot product): la proyección y el ángulo
El producto escalar (o producto punto) de dos vectores A y B se calcula como A∙B = ax∙bx + ay∙by (+ az∙bz en 3D). El resultado es un escalar (un número), no un vector. Su interpretación geométrica es A∙B = |A|∙|B|∙cos(θ), donde θ es el ángulo entre los vectores. Esto lleva directamente a la fórmula del ángulo: cos(θ) = A∙B/(|A|∙|B|). Si A∙B = 0, los vectores son perpendiculares (θ=90°). Si A∙B = |A|∙|B|, son paralelos (θ=0°). El producto escalar aparece en cálculo de trabajo mecánico (W = F∙d∙cosθ), en proyecciones vectoriales y en gráficos 3D para iluminación.
Producto vectorial (cross product) en 3D: perpendicular a ambos vectores
El producto vectorial (o producto cruz) solo existe en 3D. Dados A = (ax, ay, az) y B = (bx, by, bz), el resultado es A×B = (ay∙bz – az∙by, az∙bx – ax∙bz, ax∙by – ay∙bx). El resultado es un vector perpendicular tanto a A como a B, con magnitud |A×B| = |A|∙|B|∙sin(θ). Si A×B = (0,0,0), los vectores son paralelos. El producto vectorial es fundamental en: cálculo de momentos y torques en mecánica (τ = r×F), determinación de normales a superficies en gráficos 3D, cálculo de áreas de paralelogramos y tetraedros, y física electromagnética (fuerza de Lorentz F = q∙v×B).
Proyección de un vector sobre otro: la componente paralela
La proyección escalar de A sobre B es comp˘ᵣA = A∙B/|B|: la magnitud de la sombra que proyectaría A sobre la dirección de B. La proyección vectorial es proy˘ᵣA = (A∙B/|B|²)∙B: el vector que apunta en la dirección de B con la magnitud de la proyección escalar. Estas proyecciones son esenciales para descomponer fuerzas en componentes paralelas y perpendiculares a una superficie, y para los algoritmos de Gram-Schmidt en álgebra lineal.
Cómo funciona esta calculadora de vectores 2D y 3D
Esta herramienta opera en dos modos que cubren todos los problemas vectoriales básicos del currículo de matemáticas y física de América Latina, con un toggle compartido entre 2D y 3D que funciona en ambos modos.
Modo 1: Todas las operaciones vectoriales simultáneamente
Ingresas los componentes de los vectores A y B usando el selector 2D/3D compartido en la parte superior (que activa o desactiva los campos z en ambos modos). La calculadora calcula en paralelo: |A| y |B| (magnitudes), A+B y A-B (suma y resta componente a componente), A∙B (producto escalar), A×B (producto vectorial, solo 3D), los vectores unitarios â y ̂, y el ángulo entre A y B. Todos los resultados aparecen en una cuadrícula visual de tarjetas con fondo oscuro para magnitudes, fondo gris para operaciones, y fondo dorado para productos. Los pasos muestran cómo se calculó cada valor. La gráfica muestra A (teal), B (dorado) y A+B (oscuro) como líneas desde el origen en el plano XY.
Modo 2: Ángulo entre vectores y proyección
Ingresas A y B con el mismo toggle de dimensión compartido. La calculadora calcula el ángulo θ mediante la fórmula cos(θ) = A∙B/(|A|∙|B|), con el resultado en grados y radianes. También muestra cos(θ) explícitamente, la proyección escalar de A sobre B (A∙B/|B|) y la proyección vectorial (el vector proyectado). Indica si los vectores son perpendiculares, paralelos, o ninguno. La gráfica muestra A, B y la proyección vectorial de A sobre B como flechas visuales.
3 Ejemplos Reales de Vectores en América Latina
Caso 1: Fuerza resultante en ingeniería civil (Perú)
Un ingeniero del MTC en Lima analiza una columna con F1 = (0, -500, 0) kN (carga vertical) y F2 = (200, 0, 0) kN (carga sísmica horizontal). ¿Cuál es la resultante?
F1+F2 = (200, -500, 0) kN. |F1+F2| = √(200²+500²) = 538.5 kN. Ángulo con vertical: arccos(500/538.5) = 21.8°.
El análisis de fuerzas mediante vectores es la herramienta central del diseño estructural sismorresistente en América Latina. El Código ACI 318 (adoptado en México, Colombia, Perú y Chile) y las normas locales de diseño sísmico (como la NTE E.030 del Perú) requieren combinar vectorialmente las cargas gravitacionales y horizontales. Un error en la suma vectorial puede llevar a subdimensionar una estructura y comprometer su seguridad ante sismos, como los ocurridos en la costa peruana.
Caso 2: Trabajo mecánico en Física (México)
Un estudiante de la UNAM calcula el trabajo de una fuerza F = (5, 3) N al desplazar un objeto d = (4, -1) m.
W = F∙d = 5×4 + 3×(-1) = 17 J. Ángulo: cos(θ) = 17/(√34×√17) = 0.708, θ = 44.8°.
El trabajo mecánico W = F∙d∙cos(θ) mediante el producto escalar es uno de los conceptos vectoriales más enseñados en los cursos de Física Universitaria de toda América Latina. Cuando la fuerza y el desplazamiento son perpendiculares (A∙B=0), el trabajo es cero aunque haya fuerza y movimiento. Esta interpretación directa del producto escalar aparece en los planes de estudio del IPN, la UNAM, la Universidad Nacional de Colombia y las universidades técnicas de Chile y Perú como concepto fundamental del primer año de Ingeniería.
Caso 3: Torque en robótica (Colombia)
Un ingeniero de la Universidad Nacional en Bogotá calcula el torque de F = (0, 0, -10) N en r = (0.5, 0.3, 0) m.
τ = r×F = (0.3×(-10)-0×0, 0×0-0.5×(-10), 0.5×0-0.3×0) = (-3, 5, 0) N∙m. |τ| = 5.83 N∙m.
El cálculo de torques mediante τ = r×F es esencial en robótica, mecánica de máquinas y dinámica de sólidos rígidos. El sentido positivo o negativo del torque (determinado por la dirección del producto vectorial) indica si el giro es antihorario o horario, lo cual es crítico para el diseño de actuadores y brazos robóticos. La industria manufacturera en Medellín y Bogotá, el sector automotriz en México y la industria minera en Chile y Perú aplican estos cálculos en el diseño de equipos rotativos diariamente.
3 Consejos de Expertos para Operaciones con Vectores
Verifica perpendicularidad con A∙B antes de calcular el ángulo
Si sospechas que dos vectores son perpendiculares, calcula A∙B primero. Si el resultado es exactamente 0, los vectores son perpendiculares y el ángulo es 90°, sin necesidad de arccos. Esto es más preciso numéricamente y más rápido. En ingeniería de estructuras, verificar que las cargas horizontal y vertical son perpendiculares (A∙B=0) es una validación fundamental antes de calcular cualquier resultante. En esta calculadora, el Modo 2 detecta perpendicularidad automáticamente y lo indica en texto.
La regla de la mano derecha para el producto vectorial
El producto vectorial A×B tiene una dirección determinada por la regla de la mano derecha: apunta los dedos de la mano derecha en la dirección de A y dobla hacia B; el pulgar apunta en A×B. Recuerda: B×A = -(A×B), el orden importa. En torques mecánicos (τ = r×F), el sentido del torque determina si el giro es horario o antihorario. En campos electromagnéticos (F = qv×B), la dirección de la fuerza sobre la carga depende del orden del producto vectorial.
Descompone fuerzas en componentes antes de sumar vectorialmente
Cuando tienes fuerzas en ángulos arbitrarios, descomponé cada una en sus componentes x, y, z usando sin y cos, sumá todas las componentes x, luego las y y las z, y finalmente calcula la magnitud de la resultante. Por ejemplo, F1 = 100 N a 30° tiene Fx=86.6 N y Fy=50 N. Esta descomposición en vectores base (éi, éj, ék) es el método estándar de la estática que se enseña en toda América Latina y es directo en el Modo 1 de esta calculadora.
16 Preguntas Frecuentes sobre Vectores 2D y 3D
¿Qué es un vector?
Una cantidad con magnitud (módulo) y dirección, representada por componentes: A = (ax, ay) en 2D o A = (ax, ay, az) en 3D. Se diferencia de un escalar en que tiene una dirección específica. Ejemplos: velocidad, fuerza, campo eléctrico, momento angular. Un escalar solo tiene magnitud: temperatura, masa, tiempo.
¿Cómo se calcula la magnitud de un vector?
|A| = √(ax² + ay²) en 2D, |A| = √(ax² + ay² + az²) en 3D. Teorema de Pitágoras aplicado a los componentes. Ejemplo: A=(3,4) -> |A|=√(9+16)=5. La magnitud siempre es no negativa y es 0 solo para el vector cero.
¿Qué es el producto escalar (dot product)?
A∙B = ax∙bx + ay∙by (+ az∙bz en 3D). Resultado: un escalar. Geométricamente: A∙B = |A|∙|B|∙cos(θ). Si A∙B=0, perpendiculares. Se usa para trabajo mecánico (W=F∙d), iluminación 3D y proyecciones.
¿Qué es el producto vectorial (cross product)?
Solo existe en 3D. A×B = (ay∙bz-az∙by, az∙bx-ax∙bz, ax∙by-ay∙bx). Resultado: un vector perpendicular a A y B, con magnitud |A|∙|B|∙sin(θ). Se usa para torques (τ=r×F), normales a superficies y áreas.
¿Cómo se calcula el ángulo entre dos vectores?
cos(θ) = A∙B/(|A|∙|B|), luego θ = arccos(resultado). El ángulo está entre 0° y 180°. A∙B>0: θ<90°. A∙B=0: θ=90° (perpendiculares). A∙B<0: θ>90°. Esta calculadora calcula y muestra ambos en grados y radianes.
¿Qué es un vector unitario?
â = A/|A|, un vector de magnitud 1 en la misma dirección que A. Captura solo la dirección, sin la magnitud. Los vectores base éi=(1,0,0), éj=(0,1,0), ék=(0,0,1) son los vectores unitarios de los ejes coordenados.
¿Cuál es la diferencia entre producto escalar y vectorial?
El escalar A∙B da un número, proporcional a cos(θ). El vectorial A×B da un vector (solo 3D), proporcional a sin(θ), perpendicular a ambos. El escalar es conmutativo (A∙B=B∙A); el vectorial no (A×B=-(B×A)). El escalar es máximo cuando son paralelos; el vectorial cuando son perpendiculares.
¿Cómo se suman o restan vectores?
Componente a componente: A+B = (ax+bx, ay+by, az+bz). Geométricamente, A+B es la diagonal del paralelogramo de A y B. La resta A-B es el vector del extremo de B al extremo de A cuando tienen el mismo origen. La suma es conmutativa y asociativa.
¿Qué es la proyección vectorial?
La proyección escalar de A sobre B es A∙B/|B| (la «sombra» de A en la dirección de B). La proyección vectorial es (A∙B/|B|²)∙B (el vector en la dirección de B con esa magnitud). Se usa para descomponer fuerzas en componentes paralelas y perpendiculares a superficies.
¿Qué indica A∙B = 0?
A y B son perpendiculares (ortogonales), con ángulo de 90° entre ellos, si ninguno es el vector cero. Se usa para verificar ortogonalidad en gráficos 3D, robótica (ejes de rotación perpendiculares) y estructuras (cargas en dirección perpendicular a superficies). Esta calculadora lo detecta y muestra el mensaje «perpendiculares» automáticamente.
¿Cómo se relaciona A×B con el área?
|A×B| = |A|∙|B|∙sin(θ) es el área del paralelogramo de A y B. El triángulo que forman tiene área |A×B|/2. Dados tres puntos P, Q, R, el área del triángulo PQR es |(Q-P)×(R-P)|/2. Se usa en geometría computacional y análisis de elementos finitos.
¿Cuándo son paralelos dos vectores?
Cuando A×B=(0,0,0) o equivalentemente |cos(θ)|=1. En la práctica: A=k∙B para algún escalar k. Si k>0 apuntan igual (θ=0°); si k<0 apuntan opuesto (θ=180°). Esta calculadora detecta paralelismo (cos=±1) y lo indica en el Modo 2.
¿Qué es el producto mixto?
A∙(B×C) es el volumen del paralelepipedo de los tres vectores, igual al determinante de la matriz 3×3 con A, B, C como filas. Si es 0, los tres vectores son coplanares. Se usa en geometría 3D, mecánica de fluidos y cristalografía.
¿Cómo se usan los vectores en electromagnetismo?
Los campos E y B son vectores. La fuerza de Lorentz es F = q(E + v×B), con v×B un producto vectorial 3D. Las ecuaciones de Maxwell usan operadores vectoriales (divergencia, rotacional). Las antenas y circuitos de telecomunicaciones en América Latina operan con base en estos principios.
¿Qué son los vectores base y la notación éi éj ék?
éi=(1,0,0), éj=(0,1,0), ék=(0,0,1) son los vectores unitarios de los ejes coordenados. Cualquier vector A=(ax,ay,az) = axéi + ayéj + azék. Son mutuamente perpendiculares y de magnitud 1 (base ortonormal). Esta notación es estándar en los cursos de Cálculo Vectorial y Álgebra Lineal de toda América Latina.
¿Cómo se usan vectores en inteligencia artificial?
En machine learning, cada dato es un vector n-dimensional. El producto escalar mide similitud: los modelos de lenguaje (como los que impulsan asistentes de voz) representan palabras como vectores de alta dimensión; palabras similares tienen ángulo pequeño entre sus vectores. El descenso de gradiente (base del entrenamiento de redes neuronales) sigue la dirección del vector gradiente negativo para minimizar el error.
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Aviso Legal y Transparencia Editorial
Metodología matemática
Esta calculadora implementa álgebra vectorial estándar con aritmética IEEE 754 doble precisión. El producto escalar usa multiplicación y suma directas; el vectorial usa las fórmulas estándar; el ángulo usa Math.acos() con clampeo a [-1,1] para evitar errores de dominio; la magnitud usa Math.sqrt(). Para vectores con componentes racionales dentro del rango de doble precisión, los resultados son exactos.
Referencias académicas
Los conceptos corresponden al currículo de Álgebra Lineal y Cálculo Vectorial de UNAM, Universidad Nacional de Colombia y Universidad de Chile. PlanetaCalculadoras.com no asume responsabilidad por el uso de estos resultados en aplicaciones de ingeniería real.
