Calculadora de Perímetro y Área de Polígonos Regulares 2026: Triángulo, Cuadrado, Pentágono, Hexágono y más
Calcula el perímetro (P=n×s), el área (ns²/4tan(π/n)), el radio circunscrito R, la apotema r, el ángulo interior y el ángulo exterior de cualquier polígono regular de 3 a 20+ lados. Modo radio: dado el radio circunscrito o la apotema, calcula el lado y todas las propiedades. Visualización del polígono exacto con Chart.js. PDF y WhatsApp.
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Polígonos regulares: cómo calcular perímetro, área, radio y ángulos
Un polígono regular es una figura plana cuyos lados son todos iguales y cuyos ángulos interiores son todos iguales. Los más conocidos: triángulo equilátero (n=3), cuadrado (n=4), pentágono regular (n=5), hexágono regular (n=6), octágono regular (n=8). A medida que n crece, el polígono regular se aproxima a un círculo. Los polígonos regulares aparecen en baldosas hexagonales de cocinas y baños, tuercas y tornillos hexagonales, señales de tránsito (octágonos), mosaicos de azulejos, diseños de plazas y rotondas viales. En toda América Latina, calcular estas figuras es necesario para presupuestar materiales de construcción y diseño.
Fórmulas del polígono regular: perímetro, área y ángulos
Dado n lados de longitud s, las fórmulas exactas son: Perímetro P = n×s. Área A = ns²/(4tan(π/n)): se deriva dividiendo el polígono en n triángulos isósceles desde el centro, cada uno con base s y altura r (apotema); el área de cada triángulo es sr/2, y el total es nsr/2 = ns(s/(2tan(π/n)))/2 = ns²/(4tan(π/n)). Ángulo interior: α = (n-2)×180/n grados: la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono de n lados es (n-2)×180°, y como todos son iguales, cada uno mide ese total dividido entre n. Ángulo exterior: β = 360/n grados: los ángulos exteriores siempre suman 360°.
El radio circunscrito R y la apotema r: relaciones con el lado
El radio circunscrito R es la distancia del centro al vértice (radio del círculo que pasa por todos los vértices). La apotema r (o radio inscrito) es la distancia del centro al punto medio de cualquier lado (radio del círculo tangente a todos los lados). Las relaciones con el lado s: R = s/(2sin(π/n)) y r = s/(2tan(π/n)). De estas: s = 2R×sin(π/n) y s = 2r×tan(π/n). También R² = r² + (s/2)² (Pitágoras). Para el hexágono regular: R=s (el radio circunscrito es igual al lado), r=s×√3/2. Para el cuadrado: R=s√2/2, r=s/2.
Los polígonos regulares más importantes: triángulo a dodecágono
El triángulo equilátero (n=3): α=60°, A=s²√3/4, R=s/√3, r=s/(2√3). El cuadrado (n=4): α=90°, A=s², R=s√2/2, r=s/2. El pentágono regular (n=5): α=108°, diagonal d=s×φ (proporción áurea φ=(1+√5)/2≈1.618). El hexágono regular (n=6): α=120°, R=s, A=3s²√3/2, es la única tesela regular junto al triángulo y el cuadrado. El octágono regular (n=8): α=135°, tapa las señales de STOP en toda América Latina. El dodecágono (n=12): α=150°, aparece en algunos baldosines y vidrieras.
Aplicaciones de polígonos regulares en arquitectura y diseño en LatAm
El hexágono es el polígono de mayor uso en construcción LatAm: baldosas hexagonales en pisos y paredes, tuercas y tornillos (llave 17, 19, 24, 32 mm), panales de abejas. El cuadrado es la base de la gran mayoría de planos arquitectónicos. El octágono aparece en señales de STOP (norma SCT en México, INVIAS en Colombia, MTC en Perú), en torres de vigilancia y en diseños de plazas. El pentágono y decaégono aparecen en monedas: el peso mexicano de 10 centavos es un decágono regular (10 lados). Diseñadores de parques y plazas en toda la región usan polígonos regulares para fuentes, kioscos y elementos decorativos.
Cómo usar esta calculadora de polígonos regulares
Dos modos que cubren los casos más comunes en diseño, construcción y geometría.
Modo 1: Perímetro y área desde el lado del polígono regular
Ingresa el número de lados n (mínimo 3) y la longitud del lado s. La calculadora computa perímetro P=ns, área A=ns²/(4tan(π/n)), radio circunscrito R=s/(2sin(π/n)), apotema r=s/(2tan(π/n)), ángulo interior α=(n-2)×180/n, ángulo exterior β=360/n y la suma de ángulos interiores (n-2)×180°. La gráfica dibuja el polígono exacto sobre su círculo circunscrito con los vértices marcados.
Modo 2: Todas las propiedades desde el radio circunscrito o la apotema
Seleccionas si conoces el radio circunscrito R (distancia centro-vértice) o la apotema r (distancia centro-lado). Ingresas el valor con n lados y la calculadora deriva el lado s = 2R×sin(π/n) o s = 2r×tan(π/n), y luego calcula todo lo demás: perímetro, área, ángulos y visualización del polígono. Útil cuando se conoce el círculo en el que se inscribe o circunscribe el polígono, como en diseño de tuercas, rotondas y cúpulas.
3 Ejemplos Reales de Polígonos Regulares en América Latina
Caso 1: Tornillo hexagonal (México)
Un mecaníco en Monterrey usa una tuerca hexagonal (n=6) con llave de 24 mm. La llave de 24 mm indica la distancia entre caras paralelas (apotema r=12 mm). ¿Cuánto mide el lado y el diámetro exterior?
s = 2r×tan(π/6) = 2×12×tan(30°) = 24/√3 = 13.856 mm. R = 12/cos(30°) = 12×(2/√3) = 13.856 mm. D = 2R = 27.71 mm.
Las tuercas y tornillos hexagonales son los elementos de unión más comunes en la industria mecánica de toda América Latina. La medida de la llave (en mm o pulgadas) corresponde a la distancia entre caras paralelas del hexágono, que es dos veces la apotema: llave 17 mm = r=8.5 mm; llave 19 mm = r=9.5 mm; llave 24 mm = r=12 mm. La Secretaría de Economía de México y el ICONTEC en Colombia establecen las normas dimensionales de tornillos y tuercas que siguen la norma ISO o DIN.
Caso 2: Baldosa octagonal (Colombia)
Un baño en Bogotá lleva baldosas octagonales (n=8) de 20 cm de lado. ¿Cuántas baldosas se necesitan para 12 m² de piso y cuánto mide cada una?
A_baldosa = 8×(20)²/(4×tan(π/8)) = 8×400/(4×0.4142) = 3200/1.6569 = 1931.37 cm² = 0.193137 m². N = 12/0.193137 = 62.13 → 63 baldosas + 10% = 70 baldosas.
Las baldosas octagonales son populares en baños y cocinas de estilo clásico en toda América Latina. Combinadas con pequeñas baldosas cuadradas negras en las esquinas, crean el clásico piso «octagonal» que aparece en reformas de inmuebles antiguos en Bogotá, Buenos Aires y Ciudad de México. Los distribuidores de cerámica y los maestros de obra calculan cuántas baldosas se necesitan dividiendo el área total entre el área de cada baldosa y agregando un 10-15% por cortes y desperdicios. Esta calculadora facilita ese proceso para cualquier polígono regular.
Caso 3: Señal de STOP octagonal (Perú)
Una señal STOP cumple la norma octogonal. Si el radio circunscrito es R=30 cm, ¿cuánto mide el lado, el perímetro y el área?
s = 2×30×sin(π/8) = 60×sin(22.5°) = 60×0.3827 = 22.96 cm. P = 8×22.96 = 183.7 cm. A = 8×(22.96)²/(4×tan(22.5°)) = 3999.8 cm² ≈ 0.40 m².
Las señales viales de STOP (PARE en Perú y Chile, ALTO en México) son octágonos regulares rojos por norma internacional (Convenio de Viena sobre Señales de Tránsito). El Ministerio de Transportes y Comunicaciones del Perú, la SCT en México y el INVIAS en Colombia especifican las dimensiones exactas de estas señales según el tipo de vía (urbana, rural, autopista). El octágono se eligió porque es reconocible por su forma aunque el conductor sea daltónico o la señal esté deteriorada.
3 Consejos de Expertos para Polígonos Regulares
El hexágono regular es el único polígono donde R=s: la distancia centro-vértice es igual al lado
Para el hexágono (n=6): R = s/(2sin(30°)) = s/(2×0.5) = s. El radio circunscrito es exactamente igual al lado. Por esto los panales de abeja son hexágonos: el apiólogo puede calcular instantáneamente el área de cada celda como A=3s²√3/2 conociendo solo el radio de la celda (que es igual al lado). El hexágono también tessela el plano sin huecos con solo un tipo de pieza, propiedad que comparte solo con el triángulo equilátero y el cuadrado entre los polígonos regulares.
La suma de ángulos interiores = (n-2)×180° funciona para cualquier polígono, no solo los regulares
Esta fórmula es universal: triángulo 1×180°=180°; cuadrado 2×180°=360°; pentágono 3×180°=540°; hexágono 4×180°=720°. Para polígonos regulares, cada ángulo interior es (n-2)×180°/n. Para un polígono irregular de n lados, la suma de los ángulos interiores también es (n-2)×180°. Esto se demuestra dividiendo el polígono en triángulos desde un vértice: siempre da n-2 triángulos, cada uno con suma 180°.
A medida que n → ∞, el polígono regular se convierte en un círculo: π como límite
Con s=2sin(π/n) (normalizado R=1), el perímetro P = n×2sin(π/n) → 2π cuando n→∞ (por el límite límite de sin(x)/x=1). El área A = n×sin(π/n)×cos(π/n) = n×sin(2π/n)/2 → π cuando n→∞. Esta convergencia al círculo (radio=1) es el principio del método de Arquímedes para calcular π: inscribió polígonos regulares de 6, 12, 24, 48 y 96 lados para obtener la aproximación 223/71 < π < 22/7.
16 Preguntas Frecuentes sobre Polígonos Regulares
¿Qué es un polígono regular?
Una figura plana cerrada cuyos lados son todos iguales (equilátero) y cuyos ángulos interiores son todos iguales (equiángulo). Ejemplos: triángulo equilátero (n=3), cuadrado (n=4), pentágono regular (n=5), hexágono regular (n=6). Un rectángulo no es regular (sus lados no son todos iguales); un rombo tampoco (sus ángulos no son todos iguales).
¿Cómo se calcula el perímetro de un polígono regular?
P = n × s, donde n es el número de lados y s la longitud de cada lado. Ejemplo: octágono regular de lado 5 cm: P=8×5=40 cm. Pentágono de lado 12 m: P=5×12=60 m. Al ser todos los lados iguales, basta multiplicar por n.
¿Cómo se calcula el área de un polígono regular?
A = ns²/(4tan(π/n)). Equivalente: A = Perímetro×apotema/2 = P×r/2. Ejemplo: hexágono de lado 6: A=6×36/(4×tan(30°))=216/(4×0.577)=216/2.309=93.53. Verificación: A=3s²√3/2=3×36×1.732/2=93.53 ✓.
¿Qué es la apotema de un polígono regular?
La apotema (radio inscrito r) es la distancia del centro al punto medio de cualquier lado. r = s/(2tan(π/n)). Es el radio del círculo inscrito (tangente a todos los lados). El área A = Perímetro×apotema/2 = P×r/2. Para el hexágono de lado s: apotema = s×√3/2 ≈ s×0.866.
¿Qué es el radio circunscrito de un polígono regular?
El radio circunscrito R es la distancia del centro a cualquier vértice. R = s/(2sin(π/n)). Es el radio del círculo circunscrito (que pasa por todos los vértices). Para el hexágono: R=s. Para el cuadrado de lado s: R=s√2/2. Para el triángulo equilátero: R=s/√3.
¿Cuál es el ángulo interior de un hexágono regular?
ángulo interior = (6-2)×180/6 = 4×180/6 = 720/6 = 120°. Los ángulos de los polígonos regulares más comunes: triángulo equilátero 60°, cuadrado 90°, pentágono 108°, hexágono 120°, octágono 135°, dodecágono 150°. El ángulo exterior es 360/n: 60°, 90°, 72°, 60°, 45°, 30° respectivamente.
¿Por qué solo tres polígonos regulares tesselan el plano?
Solo el triángulo equilátero (60°), el cuadrado (90°) y el hexágono regular (120°) teselan el plano (cubren toda la superficie sin huecos ni superposiciones usando solo copias del mismo polígono). Para que funcione, el ángulo interior debe ser divisor exacto de 360°: 360/60=6, 360/90=4, 360/120=3. El pentágono (108°): 360/108=3.33 (no entero); el octágono (135°): 360/135=2.67 (no entero). Por eso las baldosas cuadradas y hexagonales son las más usadas.
¿Cuál es el ángulo interior del octágono regular?
áng. interior = (8-2)×180/8 = 6×180/8 = 1080/8 = 135°. áng. exterior = 360/8 = 45°. El octágono tiene 8 lados, 8 ángulos, 20 diagonales. Su apotema r = s/(2×tan(22.5°)) ≈ s×1.207. Radio circunscrito R = s/(2×sin(22.5°)) ≈ s×1.307. Las señales STOP son octágonos con ángulo interior de 135° en cada vértice.
¿Qué es el número de diagonales de un polígono regular?
Número de diagonales = n(n-3)/2. Triángulo: 0; cuadrado: 2; pentágono: 5; hexágono: 9; octágono: 20; decágono: 35. Para un polígono de n vértices, hay C(n,2)=n(n-1)/2 segmentos entre pares de vértices; los n lados se restan, dejando n(n-1)/2-n=n(n-3)/2 diagonales.
¿Cuál polígono regular tiene la mayor relación área/perímetro?
Para perímetro P fijo, el área aumenta con n: A = P²/(4n×tan(π/n)). A medida que n→∞, A→P²/(4π), que es el área del círculo de circunferencia P. Entre polígonos regulares con el mismo perímetro, el de más lados (más «redondo») tiene más área. El círculo maximiza el área para un perímetro dado (isoperimetric inequality).
¿Qué es el polígono decágono y dónde aparece?
El decágono regular tiene n=10 lados, ángulo interior 144° y ángulo exterior 36°. Aparece en: algunas monedas (el peso mexicano de 10 centavos es un decágono en la parte central), el Templo de Tel Aviv, algunas clásulas de ventanas góticas. El pentágono regular (n=5) y el decágono (n=10) tienen una relación especial con la proporción áurea φ: la diagonal del pentágono = φ×lado.
¿Cómo se calcula la longitud de la diagonal del pentágono regular?
La diagonal del pentágono regular (que conecta dos vértices no adyacentes) mide d = s×φ donde φ=(1+√5)/2≈1.618 (proporción áurea). Para pentágono de lado s=10: d=10×1.618=16.18. Las diagonales del pentágono se cruzan creando otro pentágono regular interior (y este proceso se puede repetir infinitamente), generando la espiral áurea.
¿Cuál es el polígono inscrito de máxima área en un círculo dado?
Para un círculo de radio R, el polígono regular inscrito de máxima área entre los de n lados es siempre el polígono regular de n lados (no hay opción, dado n). Entre todos los polígonos regulares inscritos, el de más lados tiene mayor área: A_n = (nR²/2)sin(2π/n) → πR² cuando n→∞. Para n=100 con R=1: A≈3.14159, muy cerca de π.
¿Cómo afecta el número de lados al ángulo interior?
A mayor n, mayor ángulo interior: α=(n-2)×180/n → 180° cuando n→∞. Triángulo 60° → cuadrado 90° → pentágono 108° → hexágono 120° → octágono 135° → decágono 144° → dodecágono 150° → ∞-gono 180° (recta). El ángulo exterior es siempre 360/n y disminuye con n: suma siempre 360°.
¿Cómo se construye un hexágono regular con brújula y regla?
1. Dibuja un círculo de radio R. 2. Desde cualquier punto de la circunferencia, traza arcos de radio R intersectando la circunferencia. 3. Conecta los 6 puntos obtenidos. El resultado es un hexágono regular perfecto. Esta construcción funciona porque para el hexágono R=s: el radio es exactamente igual al lado, por lo que la circunferencia se divide en exactamente 6 arcos iguales de radio R.
¿Qué significa «polígono regular» en el contexto de los sólidos platónicos?
Los sólidos platónicos son los cinco poliedros regulares convexos: tetraedro (4 triángulos equiláteros), cubo (6 cuadrados), octaedro (8 triángulos), dodecaedro (12 pentágonos) e icosaedro (20 triángulos). Todos sus caras son polígonos regulares idénticos y todos sus ángulos diedros son iguales. Solo existen exactamente 5, demostrado por Eucílides. Esta calculadora calcula los polígonos regulares que forman las caras de estos sólidos.
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Metodología matemática
P=n×s. A=ns²/(4×Math.tan(PI/n)). R=s/(2×Math.sin(PI/n)). r=s/(2×Math.tan(PI/n)). Áng.interior=(n-2)×180/n. Áng.exterior=360/n. Desde R: s=2R×Math.sin(PI/n). Desde r: s=2r×Math.tan(PI/n). La gráfica dibuja los n vértices en posiciones (cos(2πk/n-π/2), sin(2πk/n-π/2)) para k=0..n (normalizados a radio=1).
Referencias académicas
Euclides, «Elementos» (Libros IV y XIII). MTC Perú. SCT México. ISO 4759 (tolerancias de tornillos y tuercas). PlanetaCalculadoras.com no asume responsabilidad por el uso en proyectos sin validación profesional.
