Calculadora de Progresión Geométrica Online 2026: Término n, Suma Sₙ, Serie Infinita y Razón r con Pasos y Gráfica
Calcula el término n (aₙ), la suma de los primeros n términos (Sₙ), la suma de la serie infinita S∞ cuando |r|<1, la razón geométrica r y la secuencia completa de cualquier progresión geométrica. Incluye pasos detallados, modo inverso para hallar r desde dos términos, indicador de convergencia, gráfica exponencial, PDF y WhatsApp.
Calcula aₙ, Sₙ y S∞ desde a₁, r y n
Para series infinitas convergentes, ingresa |r|<1. Ej: a₁=10, r=0.5, n=10.
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Qué es una progresión geométrica y cómo se diferencia de la aritmética
Una progresión geométrica (también llamada sucesión geométrica o secuencia geométrica) es una lista de números donde cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante llamada razón geométrica (r). Si la progresión aritmética avanza sumando siempre el mismo valor (crecimiento lineal), la geométrica avanza multiplicando siempre por el mismo factor (crecimiento exponencial). Esta diferencia en el mecanismo de crecimiento es enorme: en una progresion aritmética de razón d=3, el décimo término es solo 27 unidades mayor que el primero. En una geométrica de razón r=3 que comienza en 1, el décimo término es 19,683. El mismo punto de partida, la misma cantidad de pasos, pero una diferencia categórica en la magnitud del resultado.
Las progresiones geométricas aparecen en contextos de alta relevancia cotidiana en América Latina: el interés compuesto (tu capital crece multiplicado cada período por 1+tasa), la depreciación de activos (un auto que pierde el 15% de su valor por año sigue una progresión de razón 0.85), el crecimiento de poblaciones bacterianas (se duplican cada X minutos, razón r=2), la atenuación de señales en telecomunicaciones, el decaimiento radiactivo en física, y los modelos epidemiológicos de propagación de enfermedades (familiares en América Latina por los modelos COVID-19 del IMSS en México, el MSPS en Colombia, o el MINSA en Perú).
La fórmula del término n: aₙ = a₁ × r^(n-1) y el crecimiento exponencial
El término general de una progresión geométrica se calcula como aₙ = a₁ × r^(n-1). Donde a₁ es el primer término y r es la razón. Para llegar al término n desde el primero, hay que multiplicar por r exactamente n-1 veces. Ejemplo: si una bacteria se divide en 3 bacterias cada hora (razón r=3) y empezamos con 1 bacteria (a₁=1), después de 10 horas hay a₁₀ = 1 × 3^9 = 19,683 bacterias. No 3×10=30 como en una progresión aritmética, sino 19,683. Esta es la naturaleza del crecimiento exponencial y explica por qué las pandemias, los intereses compuestos y los incendios forestales son tan difíciles de contener una vez que empiezan.
La gráfica de una progresión geométrica con r>1 es una curva exponencial que sube cada vez más rápido. Con 0<r<1, es una curva que se acerca asintóticamente a cero (decaimiento). Con r negativo, la progresión oscila entre valores positivos y negativos. Con r=1, todos los términos son iguales (progresión constante). Esta calculadora detecta automáticamente el tipo de comportamiento y lo muestra en la gráfica, adaptando la escala del eje y a logarítmica cuando r>1 y n>5 para que la curva sea legible.
La fórmula de la suma Sₙ y la serie infinita convergente
La suma de los primeros n términos de una progresión geométrica es Sₙ = a₁ × (r^n – 1)/(r – 1) para r≠1. Cuando r=1, simplemente Sₙ = n × a₁. Esta fórmula no tiene el equivalente elegante de Gauss que funciona para la aritmética, pero tiene algo aún más poderoso: la posibilidad de una suma infinita con resultado finito.
Cuando la razón cumple |r| < 1 (es decir, -1 < r < 1), los términos se hacen cada vez más pequeños y se acercan a cero. Sumar infinitos números que se aproximan a cero puede dar un número finito. La suma infinita de la serie geométrica es S∞ = a₁ / (1 – r). Esta fórmula es uno de los resultados más importantes del cálculo y tiene aplicaciones en finanzas (el valor presente de una renta perpetua), en física (la paradoja de Zenón de Aquiles y la tortuga) y en procesamiento de señales. Ejemplo: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1/(1-0.5) = 2. Sumar infinitos números positivos da exactamente 2, no infinito.
La razón geométrica r: significado y cómo encontrarla desde dos términos
La razón r dice cuántas veces crece (o decrece) cada término respecto al anterior. r=2 significa duplicación. r=0.5 significa que cada término es la mitad del anterior. r=1.1 significa un crecimiento del 10% por período (como el interés compuesto al 10%). r=-1 genera una progresión que alterna entre valores iguales pero con signo contrario. Si conoces dos términos cualesquiera en posiciones p y q (con p≠q), puedes encontrar r con: r = (aₜ/aₚ)^(1/(q-p)). Una vez conocido r, calculas el primer término como a₁ = aₚ/r^(p-1) y a partir de ahí puedes calcular cualquier otro término.
Cuándo converge una serie geométrica: la condición |r| < 1
Una serie geométrica (la suma infinita) converge, es decir, su suma tiene un valor finito, si y solo si |r| < 1. Si |r| ≥ 1, la serie diverge: los términos no se hacen suficientemente pequeños y la suma infinita crece sin límite (o no converge a ningún valor fijo). Este resultado, que parece intuitivo, tuvo siglos de debate matemático y fue formalizado rigurosamente en el siglo XIX por matemáticos como Cauchy y Weierstrass. En la práctica financiera latinoamericana, la fórmula S∞ = a₁/(1-r) es la base del cálculo del valor presente de una renta perpetua: si un activo paga un dividendo constante a indefinidamente y la tasa de descuento por período es k, el valor presente es a/k (donde a=dividendo anual y r=1/(1+k) < 1).
Cómo funciona esta calculadora de progresión geométrica
Esta herramienta opera en dos modos que cubren los problemas más frecuentes de progresiones geométricas en el currículo educativo y en aplicaciones profesionales.
Modo 1: Calcular término, suma y secuencia completa
Ingresas el primer término (a₁), la razón (r) y el número de términos (n). La calculadora computa aₙ usando Big.js para la potencia entera r^(n-1), calcula Sₙ con la fórmula compacta usando Big.js (manejando el caso r=1 de forma especial), y si |r|<1 calcula también S∞ = a₁/(1-r) con Big.js. Un badge de color verde indica convergencia (|r|<1) y rojo indica divergencia (|r|≥1), con el valor exacto de |r| para confirmación inmediata. La secuencia visual muestra hasta 20 términos como chips, con el primero dorado y el último teal. La gráfica adapta su escala: logarítmica cuando r>1 y la secuencia crece rápido, lineal en otros casos. Para valores muy grandes (>10^12) o muy pequeños (<10^-6), la notación científica se activa automáticamente.
Modo 2: Encontrar la razón r desde dos términos conocidos
Ingresas la posición p y el valor aₚ, la posición q y el valor aₜ, y el n hasta el que calcular. La calculadora aplica r = (aₜ/aₚ)^(1/(q-p)) para encontrar la razón. Para casos especiales: si q-p=1, usa division directa (más preciso). Para cocientes negativos con exponente par, informa que no existe razón real. Luego calcula a₁ = aₚ/r^(p-1) y a partir de ahí procede como el Modo 1. Los pasos del cálculo de r y a₁ se muestran explícitamente.
3 Ejemplos Reales de Progresiones Geométricas en América Latina
Caso 1: Interés compuesto en México
Un ahorrador en Monterrey deposita MXN 10,000 en una cuenta de banco al 8% anual de interés compuesto. ¿Cuánto tiene después de 10 años? Su capital sigue una progresión geométrica.
a₁=10,000, r=1.08, n=10. a₁₀ = 10,000 × 1.08^9 = 10,000 × 1.999 = MXN 19,990. Suma (total ahorrado por año): S₁₀ diferente.
El interés compuesto es la aplicación más importante de las progresiones geométricas en finanzas personales. La razón es r = 1 + tasa/100. Cada año, el capital se multiplica por r. Esto explica la «magia del interés compuesto» que tanto promueve el CONDUSEF México: no es magia, es crecimiento exponencial. Con r=1.08 y suficientes períodos, el crecimiento se vuelve imparable. La regla del 72 dice que para duplicar el capital al X% de interés compuesto anual, se necesitan aproximadamente 72/X años: al 8%, 72/8 = 9 años.
Caso 2: Depreciación de activos en Colombia
Una empresa de logística en Medellín compra un camión por COP $120,000,000. El vehículo pierde el 20% de su valor cada año. ¿Cuánto vale después de 5 años? La depreciación geométrica corresponde a r=0.80.
a₁=120,000,000, r=0.80, n=5. a₅ = 120,000,000 × 0.80^4 = 120,000,000 × 0.4096 = COP $49,152,000.
La depreciación geométrica (o por saldo decreciente) es el método más realista para calcular el valor de activos que se deprecian más rápido en los primeros años que en los posteriores. En Colombia, la DIAN (dian.gov.co) permite este método para la depreciación fiscal acelerada de maquinaria y vehículos. Para los años de vida útil del activo, la razón es r = 1 – tasa_de_depreciacion. Nota que |r|=0.80 < 1, por lo que la progresión es decreciente pero la serie converge (te dice cuánto perderías en total si la depreciación continuara indefinidamente).
Caso 3: Propagación exponencial en Perú
Un epidemiólogo del MINSA en Lima modela un brote donde cada persona infectada contagia en promedio a 2.5 personas (R0=2.5) antes de recuperarse. Si hay 4 infectados inicialmente y el período de generación es 5 días, ¿cuántos infectados habrá después de 6 generaciones (30 días)?
a₁=4, r=2.5, n=6. a₆ = 4 × 2.5^5 = 4 × 97.66 = 390 infectados aproximadamente. S₆ total de casos = 4 × (2.5^6 – 1)/(2.5 – 1) ≈ 692 casos acumulados.
Este modelo es una simplificación del modelo SIR epidemiológico que el MINSA Perú y otros ministerios de salud de América Latina usaron durante la pandemia COVID-19. La razón geométrica r=R0 (número de reproducción básico) determina si la epidemia crece (R0>1), se estabiliza (R0=1) o decrece (R0<1). Controlar R0 por debajo de 1 (mediante cuarentenas, mascarillas, vacunas) convierte la serie de divergente en convergente: la epidemia se extingue en lugar de crecer indefinidamente.
3 Consejos de Expertos para Usar Progresiones Geométricas
Distingue entre crecimiento lineal y exponencial antes de elegir la fórmula
La pregunta clave es: ¿el incremento es un monto fijo (lineal) o un porcentaje fijo (exponencial)? Un salario que sube $200 por año es aritmético. Un salario que sube 5% por año es geométrico. Un celular que pierde $2,000 de valor por año es aritmético. Un celular que pierde 25% de su valor por año es geométrico. En la gráfica: si los puntos forman una línea recta, es aritmético. Si forman una curva, es geométrico. Equivocarse en esto puede llevar a proyecciones completamente incorrectas en presupuestos financieros.
Para series con |r|<1, calcula S∞ como techo máximo posible
Cuando tienes una progresión decreciente con |r|<1, la suma infinita S∞ = a₁/(1-r) te da el techo máximo que jamas puede alcanzar la suma aunque sumes todos los términos hasta el infinito. Esto es extremadamente útil en finanzas: el valor presente de una renta perpetua que paga a por período a una tasa de descuento k es exactamente S∞ = a/(1-r) donde r=1/(1+k). Los analistas financieros del sector bánking en toda América Latina usan esta fórmula a diario para valorar activos que generan flujos constantes indefinidamente.
Cuidado con r negativo: produce oscilaciones que pueden ser confusas
Si r es negativo (por ejemplo r=-2), la progresión alterna de positivos a negativos: 3, -6, 12, -24… El valor absoluto de los términos sí crece geométricamente (|r|=2 > 1), pero los signos alternan. Para |r|<1 con r negativo (como r=-0.5): 1, -0.5, 0.25, -0.125… la serie converge, pero a un valor diferente: S∞ = 1/(1-(-0.5)) = 1/1.5 = 0.667. Este caso aparece en algunos modelos de control de sistemas, donde una señal oscila y se amortigua. Esta calculadora maneja r negativo correctamente mediante Big.js y detecta la paridad del exponente para determinar el signo de cada término.
16 Preguntas Frecuentes sobre Progresiones Geométricas
¿Qué es una progresión geométrica?
Una sucesión donde cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante r (la razón). Ejemplo: 2, 6, 18, 54, 162… (r=3). La gráfica de sus términos forma una curva exponencial, no una línea recta como la progresión aritmética.
¿Cómo se calcula el término n de una progresión geométrica?
Con la fórmula aₙ = a₁ × r^(n-1). Ejemplo: para 2, 6, 18… (a₁=2, r=3), el término 7 es: a₇ = 2 × 3^6 = 2 × 729 = 1458.
¿Cómo se calcula la suma de los primeros n términos?
Sₙ = a₁ × (r^n – 1) / (r – 1) para r ≠ 1. Para r = 1: Sₙ = n × a₁. Ejemplo: para 2, 6, 18, 54 (n=4): S₄ = 2 × (3^4 – 1)/(3-1) = 2 × 80/2 = 80.
¿Qué es la suma infinita de una serie geométrica?
Cuando |r| < 1, la suma de infinitos términos tiene un valor finito: S∞ = a₁/(1-r). Ejemplo: 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + … = 1/(1-1/3) = 1/(2/3) = 3/2 = 1.5. Solo existe cuando |r| < 1 (serie convergente).
¿Cuándo converge una serie geométrica infinita?
Cuando la razón cumple |r| < 1, es decir, -1 < r < 1. En ese caso los términos se hacen cada vez más pequeños y se acercan a cero, haciendo que la suma sea finita. Si |r| ≥ 1, la serie diverge (la suma es infinita o no definida).
¿Puede la razón r ser negativa?
Sí. Si r es negativo, los términos alternan de signo: positivo, negativo, positivo… Ejemplo: 3, -6, 12, -24 (r=-2). Si r=-0.5 (|r|<1), la serie converge aunque oscile. El signo de cada término depende de si el exponente (n-1) es par o impar.
¿Qué diferencia hay entre progresión aritmética y geométrica?
En la aritmética, la diferencia entre términos consecutivos es constante (se suma d). En la geométrica, el cociente entre términos es constante (se multiplica por r). La aritmética crece linealmente; la geométrica, exponencialmente. Para el mismo número de pasos, la geométrica con r>1 siempre supera a la aritmética en magnitud.
¿Cómo se relaciona la progresión geométrica con el interés compuesto?
En interés compuesto al k% por período, el capital sigue una progresión geométrica con razón r = 1 + k/100. El capital después de n períodos es aₙ = capital_inicial × (1+k/100)^(n-1). La fórmula del término geométrico ES la fórmula del interés compuesto.
¿Para qué sirve la suma infinita en finanzas?
El valor presente de una renta perpetua que paga un flujo constante F por período a tasa de descuento k es VP = F/k. Esto es exactamente S∞ = a₁/(1-r) donde a₁ = F/(1+k) y r = 1/(1+k). Los fondos de pensión y los analistas de renta fija de toda América Latina usan esta fórmula para valorar bonos perpetuos y acciones que pagan dividendos estables.
¿Cómo se encuentra la razón r desde dos términos conocidos?
Si conoces aₚ (término en posición p) y aₜ (término en posición q), entonces r = (aₜ/aₚ)^(1/(q-p)). Una vez conocido r: a₁ = aₚ / r^(p-1). El Modo 2 de esta calculadora realiza este cálculo con los pasos detallados.
¿Puede la razón r ser un número decimal?
Sí. La razón puede ser cualquier número real distinto de cero. r=0.5 genera una progresión decreciente que se divide a la mitad cada vez. r=1.05 genera un crecimiento del 5% por período. r=1.001 genera un crecimiento del 0.1%. Esta calculadora usa Big.js para manejar décimales con precisión y evitar errores de punto flotante.
¿Qué pasa si r=1?
Si r=1, todos los términos son iguales a a₁: a₁, a₁, a₁, a₁… La progresión es constante. La suma de n términos es simplemente Sₙ = n × a₁. La fórmula general con (r-1) en el denominador no se aplica para r=1 (división por cero), por lo que esta calculadora maneja ese caso especialmente.
¿Cómo se usa la progresión geométrica en amortización de créditos?
En el sistema de amortización francés (cuotas fijas), el capital pendiente decrece geométricamente. En el sistema alemán (amortización constante de capital), las cuotas decrecen aritméticamente. El saldo de capital al final del período k en el sistema francés sigue una progresión geométrica de razón (1+i) donde i es la tasa de interés por período. Los bancos centrales de México, Colombia y Chile tienen guías sobre estos métodos en sus portales de educación financiera.
¿Cuál es el valor de r que duplica el valor cada período?
r=2. Con r=2, cada término duplica al anterior. El término 10 es 2^9 = 512 veces el primer término. Esta es la base del crecimiento de bacterias, la cadena de correos virales («reénvialo a 2 amigos»), y el espectacular crecimiento de plataformas digitales en sus primeras etapas. La regla del 72 dice que para duplicar a la tasa r por período, se necesitan aproximadamente 72/(tasa en %) períodos.
¿Qué es la media geométrica y cómo se relaciona con la progresión?
La media geométrica de n números es la raíz n-ésima de su producto. En una progresión geométrica, el término central es la media geométrica del primero y el último (análogo a la media aritmética para progresiones aritméticas). La media geométrica se usa en finanzas para calcular tasas de crecimiento promedio: si un portafolio crece 10%, luego -5%, luego 8%, la tasa de crecimiento promedio NO es la media aritmética (4.33%) sino la media geométrica: (1.10 × 0.95 × 1.08)^(1/3) – 1 ≈ 4.2%.
¿Existe el factorial de números decimales?
Esta pregunta es sobre la Función Gamma, no sobre progresiones. Para la progresión geométrica con razón decimal como r=1.5: a₅ = a₁ × 1.5^4 = a₁ × 5.0625. No hay ninguna restricción en que r sea entero. Esta calculadora maneja cualquier valor decimal para r con Big.js para mayor precisión que las calculadoras estándar de JavaScript.
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Metodología matemática
Esta calculadora implementa aₙ = a₁ × r^(n-1) y Sₙ = a₁ × (r^n-1)/(r-1) con Big.js v6, usando Big.pow() para potencias enteras. La suma infinita S∞ = a₁/(1-r) se calcula con Big.js cuando |r|<1. La razón r en Modo 2 usa Math.pow() para exponentes fraccionarios y se convierte a Big para los cálculos posteriores. Para números mayores que 10^12 o menores que 10^-6, se activa notación científica automáticamente.
Referencias
Contenido basado en los currículos de Matemáticas de México (SEP), Colombia (Mineducación) y Perú (MINEDU). PlanetaCalculadoras.com no asume responsabilidad por decisiones financieras o científicas basadas en esta herramienta.
