Calculadora de Factorial Online 2026: Calcula n! Paso a Paso con Permutaciones, Combinaciones y Triángulo de Pascal
La calculadora de factorial más completa en español. Calcula n! con expansión paso a paso y precisión exacta Big.js para valores hasta n=1000, muestra el número exacto de dígitos del resultado, calcula Permutaciones P(n,r) y Combinaciones C(n,r), visualiza la fila n del Triángulo de Pascal y aplica la aproximación de Stirling para factoriales grandes. PDF y WhatsApp incluidos.
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Qué es el factorial y por qué es la base de toda la combinatoria
El factorial de un número entero n, escrito como n!, es el producto de todos los enteros positivos desde 1 hasta n. Por ejemplo, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Por definición especial, 0! = 1. El factorial no parece un concepto muy práctico a primera vista, pero en cuanto empiezas a contar posibilidades en problemas reales, lo encuentras en todas partes: ¿de cuántas formas puede un entrenador ordenar a sus 11 jugadores en la fila para la foto oficial? 11! = 39,916,800 formas. ¿Cuántas contraseñas distintas de 4 dígitos diferentes existen? P(10,4) = 10!/6! = 5,040. El factorial es el punto de partida de la combinatoria, la probabilidad discreta y el análisis de algoritmos.
En América Latina, el factorial aparece en el currculo escolar desde el bachillerato y es tema obligatorio en los exámenes de admisión universitaria. El COMIPEMS en México, el Icfes Saber 11 en Colombia, la PAES en Chile y el Preuniversitario en Perú incluyen problemas de combinatoria donde el factorial es la herramienta fundamental. Pero su aplicación va mucho más allá del aula: cualquier problema de “¿cuántas formas hay de…?” tarde o temprano llega al factorial.
La fórmula del factorial: definición y la regla del cero
Formalmente, el factorial se define de forma recursiva: n! = n × (n-1)! con el caso base 0! = 1. Esta definición recursiva es elegante: 1! = 1 × 0! = 1 × 1 = 1. 2! = 2 × 1! = 2. 3! = 3 × 2! = 6. Y así sucesivamente. La regla 0! = 1 no es arbitraria: es la consecuencia natural de la función Gamma (la extensión del factorial a los reales), y también tiene sentido combinatorio: existe exactamente 1 forma de ordenar 0 elementos (no hacer nada). Esta calculadora implementa el factorial de forma iterativa usando Big.js para precisión exacta con enteros de arbitraria magnitud, sin los límites del número de punto flotante IEEE 754 que afectan a las implementaciones estándar de JavaScript a partir de n=20.
El factorial en combinatoria: contando posibilidades sin listarlas
La razón principal por la que el factorial importa es que permite contar arreglos y selecciones enormes sin listarlos uno por uno. Las dos operaciones más importantes construidas sobre el factorial son:
- Permutaciones P(n,r) = n!/(n-r)!: cuenta las formas de elegir r elementos de n elementos donde el orden SÍ importa. Si tienes 20 corredores y quieres saber de cuántas formas pueden quedar el primero, segundo y tercer lugar: P(20,3) = 20!/17! = 20×19×18 = 6,840 podios posibles.
- Combinaciones C(n,r) = n!/(r!×(n-r)!): cuenta las formas de elegir r elementos de n donde el orden NO importa. Si tienes 20 corredores y quieres saber cuántas selecciones de 3 posibles existían: C(20,3) = 6,840/6 = 1,140 grupos posibles (mucho menos, porque el orden entre los 3 elegidos no importa).
La diferencia entre P y C es exactamente r! (el número de formas de ordenar los r elementos elegidos). Siempre C(n,r) ≤ P(n,r) para el mismo par (n,r).
Crecimiento del factorial: por qué n! crece más rápido que cualquier potencia
El factorial crece de forma explosiva, más rápido que cualquier potencia n^k o que cualquier exponencial c^n (para cualquier constante c). 10! tiene 7 dígitos (3,628,800). 20! tiene 19 dígitos. 100! tiene 158 dígitos. 1000! tiene 2,568 dígitos. Este crecimiento ultrarrpido hace que los factoriales de números grandes sean imposibles de calcular con aritmética de punto flotante estándar: a partir de n=21, el resultado supera el máximo entero exacto representable en JavaScript (2^53). Por eso esta calculadora usa Big.js, que maneja enteros de precisión arbitraria. Para valores muy grandes (n≥30), también se muestra el logaritmo base 10 del factorial calculado mediante la aproximación de Stirling: log₁₀(n!) ≈ n·log₁₀(n) – n·log₁₀(e) + 0.5·log₁₀(2πn).
Cómo funciona esta calculadora de factorial
Esta herramienta opera en dos modos que cubren los usos educativos y profesionales más frecuentes del factorial en América Latina.
Modo 1: Calcular n! con expansión paso a paso
Ingresas un entero n entre 0 y 1000. La calculadora computa n! de forma iterativa usando Big.js: comienza con resultado=1 y multiplica sucesivamente por 2, 3, 4, …, n. Esto garantiza precisión exacta en todos los dígitos sin excepción. El resultado se muestra en la pantalla oscura: si tiene 24 dígitos o menos, se muestra completo con separadores de miles; si tiene más, se muestra en notación científica con los primeros 6 dígitos significativos y el número exacto de dígitos del resultado. La expansión paso a paso muestra la forma n × (n-1) × … × 1, truncando al centro para valores grandes. La gráfica de barras muestra log₁₀(k!) para k=0..min(n,14), con la barra de k=n resaltada en dorado.
Modo 2: Permutaciones P(n,r) y Combinaciones C(n,r)
Ingresas n (tamaño del universo) y r (tamaño de la selección, con r≤n). La calculadora calcula P(n,r) sin computar el factorial completo de n: usa el producto n×(n-1)×…×(n-r+1) directamente, lo que es más eficiente y evita el desbordamiento para n grandes. C(n,r) se calcula como P(n,r) dividido por r!. Ambos resultados se muestran con el número de dígitos. Las fórmulas aplicadas se detallan textualmente. La gráfica muestra C(n,k) para k=0..min(n,20), que es la fila n del Triángulo de Pascal: esta curva tiene forma de campana simétrica alrededor del valor central, lo que conecta visualmente el factorial con la distribución normal mediante el teorema del límite central.
Grandes factoriales: aproximación de Stirling
La fórmula de Stirling, desarrollada por el matemático británico James Stirling en 1730, permite estimar log₁₀(n!) sin calcular el factorial completo: log₁₀(n!) ≈ n·log₁₀(n) – n·log₁₀(e) + 0.5·log₁₀(2πn). Esta aproximación es notablemente precisa incluso para n pequeños (para n=10 el error relativo es menor al 1%). Para n=1000, log₁₀(1000!) ≈ 2567.6, lo que significa que 1000! tiene 2,568 dígitos. Esta calculadora muestra la aproximación para n≥30, complementándola con el resultado exacto de Big.js para verificación.
3 Ejemplos Reales de Cálculo de Factorial en América Latina
Caso 1: Sorteo de rifa universitaria en México
Una asociación estudiantil de la UNAM en Ciudad de México tiene 8 premios distintos para rifar entre 50 boletos vendidos. ¿Cuántas asignaciones posibles de premios a boletos existen?
Es una permutación P(50,8): importa qué boleto sacó el 1er premio (viaje) vs el 2do (laptop) vs el 3ro (cel), etc. P(50,8) = 50×49×48×47×46×45×44×43.
Si los 8 premios fueran idénticos (como 8 monederos iguales), la respuesta sería C(50,8) = P(50,8)/8! = 536,878,650: mucho menor porque no importa qué boleto ganó cuál monedero. Esta diferencia entre P y C es exactamente 8! = 40,320 veces. Para rifas con premios distintos en instituciones educativas mexicanas, el reglamento del SEP México permite sorteos internos sin permiso siempre que sean sin fines de lucro.
Caso 2: Logistíca de rutas en Colombia
Una empresa de mensajería en Medellín tiene 7 puntos de entrega que su repartidor debe visitar en un día. ¿Cuántas rutas distintas puede tomar el conductor?
El orden de visita importa (rutas distintas). Número de ordenamientos posibles de 7 paradas = 7! = 7×6×5×4×3×2×1 = 5,040 rutas.
En problemas reales de optimización de rutas (el «Problema del Viajante» o TSP), este factorial explosivo justifica por qué la fuerza bruta es inviable para muchas ciudades: con 20 paradas son 20! ≈ 2.4×10^18 rutas. Por eso las empresas de logística y mensajería en Colombia, reguladas por la Superintendencia de Transporte, usan algoritmos heurísticos en lugar de explorar todas las posibilidades.
Caso 3: Formación de equipos en Chile
En una empresa de tecnología en Santiago con 15 desarrolladores, el gerente necesita armar comités de 4 personas para revisar proyectos. ¿Cuántos comités distintos puede formar?
El orden dentro del comité no importa (no hay presidente ni secretario). Combinaciones C(15,4) = 15!/(4!×11!) = 1365 comités posibles.
Si el gerente necesitara asignar roles distintos (líder, revisor, documentador, probador), sería P(15,4) = C(15,4)×4! = 1,365 × 24 = 32,760 asignaciones. Este tipo de análisis es fundamental en gestión de proyectos bajo metodologías ágiles (Scrum, Kanban) muy adoptadas en el sector tecnológico chileno. El CORFO Chile financia proyectos de digitalización donde estos cálculos combinatorios son rutinarios en optimización de equipos.
3 Consejos de Expertos para Usar el Factorial en Problemas Reales
Identifica primero si el orden importa: P o C
El error más frecuente al aplicar el factorial es confundir cundo usar P(n,r) versus C(n,r). Regla práctica: si el problema menciona «arreglar», «colocar en posiciones», «asignar roles distintos», «primer lugar vs segundo lugar», usa P (el orden importa). Si dice «elegir un grupo», «seleccionar un equipo», «combinar elementos» sin mencionar posición, usa C (el orden no importa). En problemas de probabilidad, el cómputo errneo de si debes usar P o C puede dar una probabilidad 24 veces mayor o menor que la correcta para r=4.
Usa C(n,r) = C(n, n-r) para calcular más rápido
Una propiedad simétrica de las combinaciones: C(n,r) = C(n, n-r). C(100,97) = C(100,3) = 161,700. Es mucho más eficiente calcular C(100,3) que C(100,97). En general, cuando r es grande (mayor a n/2), usa n-r en su lugar. Esta calculadora aplica esta optimización automáticamente internamente. En examen, te ahorra varios pasos: C(20,18) = C(20,2) = 190, un cálculo mental que se hace en segundos.
El Triángulo de Pascal como tabla de combinaciones precalculadas
El Triángulo de Pascal es una estructura donde cada elemento es C(fila, posición): fila 0 = [1], fila 1 = [1,1], fila 2 = [1,2,1], fila 3 = [1,3,3,1], etc. Esta calculadora muestra la fila n completa en la gráfica del Modo 2, lo que te da todas las combinaciones C(n,0), C(n,1), …, C(n,n) de un vistazo. Las sumas de cada fila siempre dan 2^n (el total de subconjuntos de n elementos), una propiedad usada en probabilidad binomial y cálculo de potencias.
16 Preguntas Frecuentes sobre el Factorial
¿Por qué 0! = 1?
Por convención matemática basada en la consistencia de la función Gamma (Γ(n+1) = n! para n enteros) y en el conteo combinatorio: hay exactamente 1 forma de ordenar 0 elementos (no hacer nada). También se deduce de la recursividad: 1! = 1×0! implica 0! = 1!/1 = 1. Esta definición es universal en todos los sistemas matemáticos del mundo.
¿Cuál es el factorial más grande que puede calcular esta herramienta?
Hasta n = 1000 con resultado exacto. 1000! tiene 2,568 dígitos exactos. Para valores mayores, el cálculo exacto con Big.js sería posible pero tomaiía demasiado tiempo en el navegador. Para n > 1000, la aproximación de Stirling log₁₀(n!) = ∑ log₁₀(k) para k=1..n sigue siendo precisa y computacionalmente inmediata.
¿Cómo saber si un problema de combinatoria usa P o C?
La pregunta clave es: ¿cambia el resultado si cambio el orden de los elementos elegidos? Si los grupos {A,B,C} y {B,A,C} son diferentes para tu problema, usa P. Si son el mismo, usa C. Ejemplos P: orden de llegada en carrera, asignación de puestos con jerarquía, códigos PIN. Ejemplos C: equipos de trabajo, comités, grupos de estudio, combinaciones de menú.
¿Qué es el Triángulo de Pascal y cuál es su relación con el factorial?
El Triángulo de Pascal es una disposición triangular de números donde cada elemento es la suma de los dos que están encima. El elemento en la fila n y columna k (contando desde 0) es exactamente C(n,k) = n!/(k!×(n-k)!). La gráfica del Modo 2 de esta calculadora muestra la fila n completa del Triángulo de Pascal. La suma de todos los elementos en la fila n siempre es 2^n.
¿Para qué se usa el factorial en probabilidad?
El factorial es la base de la probabilidad discreta. La probabilidad de un evento en un espacio equiprobable es (casos favorables)/(casos totales), donde ambos se calculan con combinaciones o permutaciones. La distribución binomial P(X=k) = C(n,k)·p^k·(1-p)^(n-k) usa C(n,k), que a su vez usa factoriales. Las loterías, los juegos de cartas, los problemas de bolas en urnas y la genética mendeliana, todo descansa sobre factoriales.
¿Existe el factorial de números decimales?
Sí, mediante la función Gamma: Γ(n) = (n-1)! para enteros positivos, pero se extiende a todos los reales positivos (excepto cero y negativos enteros). Por ejemplo, (1/2)! = Γ(3/2) = √π/2 ≈ 0.886. Esta calculadora está optimizada para enteros no negativos, que es el caso de uso práctico en combinatoria. Para la función Gamma general, se necesitan métodos numéricos especializados.
¿Cuál es la diferencia entre permutación y permutación con repetición?
P(n,r) = n!/(n-r)! cuenta permutaciones SIN repetición (cada elemento puede usarse solo una vez). Si los elementos pueden repetirse, la permutación con repetición es simplemente n^r. Ejemplo: con {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, códigos PIN de 4 dígitos distintos = P(10,4)=5,040; códigos con dígitos repetidos = 10^4=10,000. Los cajeros automáticos en toda América Latina usan el modelo con repetición (el PIN puede tener dígitos repetidos).
¿Qué es la aproximación de Stirling?
La fórmula de Stirling aproxima el logaritmo del factorial: ln(n!) ≈ n·ln(n) – n + 0.5·ln(2πn). Es notablemente precisa: para n=10 el error es menor al 0.8% y mejora continuamente. Para computaciones donde solo importa el orden de magnitud del factorial (cuántos dígitos tiene), la aproximación de Stirling es la herramienta preferida en matemáticas avanzadas y física estadística.
¿Por qué el factorial crece tan rápido?
El factorial crece «superexponencialmente»: n! = n × (n-1)!. Cada nuevo término multiplica al anterior por un factor que crece. En contraste, una exponencial a^n crece multiplicando por el mismo factor a cada vez. Como el factor de crecimiento del factorial (n) aumenta con cada paso, el factorial «acelera» más rápido que cualquier exponencial con base fija. Esta propiedad es la que hace computacionalmente inviable la fuerza bruta para problemas combinatorios de gran escala.
¿Cómo se usa el factorial en análisis de algoritmos?
En complejidad computacional, los algoritmos O(n!) son los más lentos posibles. El problema del Viajante (TSP) resuelto por fuerza bruta es O(n!). Para n=20 ciudades, eso son más de 2 × 10^18 rutas a evaluar. Si una computadora evalua 10^9 rutas por segundo, tardaría más de 60 años. Por eso los algoritmos de aproximación (que usan combinaciones, no todos los factoriales) son esenciales en logística y transporte en América Latina.
¿Qué significa que C(n,r) = C(n,n-r)?
Elegir r elementos de n es lo mismo que elegir los n-r que NO eliges. Elegir 3 de 10 personas para un comité es equivalente a elegir las 7 personas que NO van: en ambos casos el número de formas es C(10,3) = C(10,7) = 120. Esta simetría hace visible que el Triángulo de Pascal es simétrico: la fila n es palíndroma. También permite calcular C(n,r) eligiendo siempre el menor entre r y n-r, lo que hace el cálculo más eficiente.
¿Puede el factorial ser negativo o cero?
El factorial estándar solo está definido para enteros no negativos (0, 1, 2, 3, …). No existe el factorial de números negativos enteros en la aritmética clásica (la función Gamma tiene polos en los enteros negativos). El resultado mínimo del factorial es 0! = 1 y 1! = 1. Para cualquier n ≥ 2, n! ≥ 2. El factorial nunca puede ser cero o negativo para entradas válidas.
¿Cuál es el factorial de 100?
100! tiene exactamente 158 dígitos. Su valor exacto comienza con 9,332,621,544,394,415,268… × 10^155. Con esta calculadora puedes ver el resultado exacto completo en el campo de resultado (desplázate si es necesario). También puedes verificarlo: log₁₀(100!) ≈ 157.97, confirmando que tiene 158 dígitos. Es tan grande que si distribuyeras un factorial de 100 entre todos los átomos del universo observable (≈10^80), a cada uno le tocarían unos 10^77 unidades.
¿Cómo se usa C(n,r) en probabilidad de loterías?
La probabilidad de ganar el premio mayor de una lotería donde se eligen r números de un total de n es 1/C(n,r). Melate México (6 de 56): P = 1/C(56,6) = 1/12,913,583 ≈ 7.7 × 10^-8. Baloto Colombia (5 de 43): P = 1/C(43,5) = 1/962,598. Estas probabilidades tan pequeñas justifican por qué el factorial y las combinaciones son esenciales para entender el riesgo real de los juegos de azar en cualquier país de América Latina.
¿Por qué n! termina siempre en cero?
Para n ≥ 5, n! siempre termina en al menos un cero, porque n! incluye el factor 10 = 2×5 como parte de sus divisores. El número de ceros finales de n! es la cantidad de veces que 10 divide a n!, que es el mínimo de veces que 2 y 5 dividen a n!. Como hay siempre más factores de 2 que de 5, el número de ceros finales = ∑ floor(n/5^k) para k=1,2,3… 10! tiene 2 ceros finales. 100! tiene 24. 1000! tiene 249.
¿El factorial sirve para el cálculo de probabilidades en genética?
Sí. En genética mendeliana, la probabilidad de obtener k individuos con cierto genotipo en una descendencia de n se calcula con la fórmula binomial, que usa C(n,k). Por ejemplo: si dos padres heterocigotos (Aa×Aa) tienen 4 hijos, la probabilidad de que exactamente 3 sean dominant (AA o Aa) y 1 sea recesivo (aa) es C(4,3)×(3/4)^3×(1/4)^1 = 4×0.422×0.25 ≈ 42.2%. C(4,3) = 4!/( 3!×1!) = 4. El factorial es el núcleo de este cálculo.
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Metodología matemática utilizada
Esta calculadora implementa el factorial mediante multiplicación iterativa con Big.js v6 para precisión exacta de enteros arbitrarios (n=0..1000). P(n,r) se calcula directamente como n×(n-1)×…×(n-r+1) sin computar el factorial completo de n. C(n,r) usa la optimización simétrica C(n,r)=C(n,n-r) para r>n/2. La aproximación de Stirling usa ∑log₁₀(k) para k=1..n (Stirling exacto iterativo). El Triángulo de Pascal se genera con la misma función C(n,k).
Referencias y fuentes
Los conceptos y fórmulas corresponden al currículo de matemáticas de México (SEP), Colombia (Mineducación) y Argentina (Ministerio de Educación). PlanetaCalculadoras.com no asume responsabilidad por decisiones basadas exclusivamente en estos cálculos.
