Calculadora de la Ecuación de Bernoulli 2026: P+½ρv²+ρgh=cte, Efecto Venturi A₁v₁=A₂v₂ y Teorema de Torricelli v=√(2gh)
Calcula la ecuación de Bernoulli con selector de incógnita (P₂, v₂ o h₂), 8 fluidos preset (agua, aceite, gasolina, mercurio, aire), gráfica de términos energéticos. Efecto Venturi con caudal Q y ΔP. Teorema de Torricelli con tiempo de vaciado de tanque. PDF y WhatsApp.
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La ecuación de Bernoulli: el principio de conservación de energía en fluidos
La ecuación de Bernoulli, formulada por Daniel Bernoulli en 1738 y fundamentada matemáticamente por Leonhard Euler, es una de las expresiones más poderosas de la mecánica de fluidos. Establece que en un fluido ideal incompresible en flujo estacionario a lo largo de una línea de corriente, la suma de la presión estática, la energía cinética por unidad de volumen y la energía potencial gravitatoria permanece constante. Esta ley explica fenómenos tan cotidianos como el vuelo de los aviones, el funcionamiento de los nebulizadores nasales, el diseño de los sistemas de riego por aspersión en el campo colombiano, las tuberías de los acueductos en Bogotá y Ciudad de México, y las turbinas hidráulicas de las centrales eléctricas en los Andes.
La ecuación de Bernoulli: P + ½ρv² + ρgh = constante (conservación de energía de fluidos)
La ecuación completa es: P₁ + ½ρv₁² + ρgh₁ = P₂ + ½ρv₂² + ρgh₂, donde P es la presión en Pascales, ρ la densidad del fluido en kg/m³, v la velocidad en m/s, g=9.80665 m/s² y h la altura en metros sobre el nivel de referencia. Cada término tiene unidades de Pascales (energía por unidad de volumen): P es la energía de presión, ½ρv² es la energía cinética por unidad de volumen (presión dinámica), y ρgh es la energía potencial gravitatoria por unidad de volumen. La ecuación es válida para flujo estacionario, fluido incompresible, sin viscosidad, a lo largo de una línea de corriente. La presión atmosférica estándar al nivel del mar es P₀=101,325 Pa=101.325 kPa.
Ecuación de continuidad A₁v₁ = A₂v₂ y caudal Q
Para fluidos incompresibles en un conducto cerrado, la masa que entra por una sección debe salir por otra: A₁v₁ = A₂v₂, donde A es el área de la sección transversal en m² y v la velocidad media. Esta es la ecuación de continuidad. El caudal volumétrico Q = A × v (m³/s) permanece constante a lo largo del conducto. Al reducirse la sección (A₂ < A₁), la velocidad aumenta (v₂ > v₁). Por la ecuación de Bernoulli, mayor velocidad implica menor presión: este es el efecto Venturi. En tuberías de distribución de agua potable de América Latina, la ecuación de continuidad se usa para diseñar el diámetro de las ramas de la red para mantener presiones y velocidades adecuadas.
El efecto Venturi: presión baja donde la velocidad es alta
El efecto Venturi combina la ecuación de continuidad y Bernoulli: en una constricción del tubo (A₂ < A₁), la velocidad aumenta (v₂ > v₁) y la presión disminuye (P₂ < P₁). La caída de presión es: ΔP = P₁ − P₂ = ½ρ(v₂² − v₁²). Los medidores de caudal Venturi (usados en plantas de tratamiento de agua en CDMX, Bogotá, Lima) miden el caudal midiendo ΔP con un manómetro diferencial: Q=A₁×√(2ΔP/(ρ×(1−(A₂/A₁)²))). Los carburadores clásicos de motores de combustión usaban el efecto Venturi para mezclar gasolina con aire. Los nebulizadores de jardinería funcionan por el mismo principio: el flujo de agua crea baja presión que aspira el fertilizante concentrado.
Teorema de Torricelli: v = √(2gh) — el agua sale como si cayera libremente
El teorema de Torricelli es un caso especial de Bernoulli: si la superficie libre del líquido en un tanque está a altura h sobre un orificio, la velocidad de salida es v = √(2gh). Es idéntica a la velocidad que tendría una partícula que cayera libremente desde esa altura. Para un tanque con área A_tanque y orificio con área A_ori, el tiempo de vaciado completo es: t = (A_tanque/A_ori) × √(2h/g). Si el orificio es pequeño comparado con el tanque (A_ori << A_tanque), la velocidad de descenso de la superficie es despreciable comparada con la velocidad de salida. Aplicaciones prácticas: vaciado de tanques elevados de agua, cálculo de tiempo de drenaje de albercas en México, diseño de presas con compuertas (hidroeléctricas andinas).
¿Cómo funciona esta calculadora de la ecuación de Bernoulli?
Tres modos que cubren las aplicaciones más frecuentes en ingeniería hidráulica latinoamericana.
Modo 1: Bernoulli completa con selector de incógnita (P₂, v₂ o h₂)
Ingresa las condiciones en el Punto 1 (P₁ en Pa, v₁ en m/s, h₁ en m) y el fluido (8 presets + personalizado). Selecciona la incógnita a calcular: P₂ (dadas v₂ y h₂), v₂ (dadas P₂ y h₂), o h₂ (dadas P₂ y v₂). Los campos no usados se deshabilitan automáticamente. La gráfica de barras agrupadas muestra los tres términos energéticos (P, ½ρv², ρgh) en ambos puntos, ilustrando cómo se transforma la energía: presión ↔ cinética ↔ potencial.
Modo 2: Efecto Venturi con continuidad A₁v₁=A₂v₂ y diferencia de presión
Ingresa las áreas de sección A₁ y A₂ (m²), la velocidad v₁ y el fluido. Calcula v₂=A₁v₁/A₂ (continuidad), el caudal Q=A₁v₁ (m³/s) y la caída de presión ΔP=½ρ(v₂²−v₁²) (Pa y kPa). La gráfica de barras compara v₁ y v₂ mostrando visualmente el efecto de la reducción de sección. Ideal para diseño de medidores Venturi, nebulizadores y carburadores.
Modo 3: Torricelli y vaciado de tanque
Ingresa la altura h de la superficie libre sobre el orificio, el área del orificio A_ori (m²), y opcionalmente el área del tanque A_tanque (m²). Calcula v=√(2gh) (m/s), caudal Q=A_ori×v (m³/s), flujo másico ρQ (kg/s), y el tiempo de vaciado completo t=(A_tanque/A_ori)×√(2h/g) si se ingresó A_tanque. La gráfica muestra v vs h (curva raíz cuadrada) desde 0 hasta 2.5h, con el punto actual marcado.
3 Ejemplos Reales de la Ecuación de Bernoulli en América Latina
Caso 1: Tubería de agua potable en Ciudad de México
Una tubería de 10 cm de diámetro (A₁=7.854×10⁻³ m²) transporta agua (ρ=998 kg/m³) a v₁=2 m/s y P₁=300 kPa. Se reduce a 4 cm (A₂=1.257×10⁻³ m²). ¿Cuál es la presión P₂ (misma cota)?
v₂=v₁×A₁/A₂=2×(7.854/1.257)=12.5 m/s. P₂=P₁+½ρ(v₁²−v₂²)=300,000+½×998×(4−156.25)=300,000−75,938=224,062 Pa≈224 kPa.
El Sistema de Aguas de la Ciudad de México (SACMEX) opera una de las redes de agua potable más grandes del mundo: más de 13,000 km de tuberías que sirven a casi 9 millones de personas en el Área Metropolitana. La ecuación de Bernoulli es fundamental para el diseño hidráulico de estas redes. La SACMEX usa modelos computacionales de flujo de redes (EPANET, WaterGEMS) que resuelven la ecuación de Bernoulli en miles de nodos simultáneamente para garantizar presiones adecuadas (mínimo 100 kPa a nivel de toma domiciliaria) en toda la ciudad, incluso en colonias de alta elevación como Pedregal o Santa Fe.
Caso 2: Turbina hidráulica en central Itaipú (Brasil/Paraguay)
En la central Itaipú, el agua cae desde h=120 m sobre las turbinas. Usando Torricelli como aproximación, ¿cuál es la velocidad del agua al llegar a las turbinas?
v=√(2×9.80665×120)=√(2353.6)=48.51 m/s. Q por turbina≈700 m³/s (datos reales). P cinética=½×1000×48.51²=1,177,000 Pa=1.177 MPa. La energía disponible por kg: E=gh=9.81×120=1177 J/kg.
La central hidroeléctrica de Itaipú, construida conjuntamente por Brasil y Paraguay sobre el río Paraná, es la segunda mayor productora de energía hidroeléctrica del mundo. Con 14,000 MW de capacidad instalada, suministra el 15-17% de toda la energía eléctrica de Brasil y el 90% de la de Paraguay. La ecuación de Bernoulli (en su forma extendida, con pérdidas de carga) se aplica al diseño de las tuberías forzadas (penstock), turbinas Francis y difusores. La Itaipú Binacional tiene 20 unidades generadoras, cada una procesando caudales de hasta 700 m³/s, haciendo del cálculo hidráulico un elemento crítico de la operación.
Caso 3: Medidor Venturi en planta de tratamiento de agua, Bogotá
Un medidor Venturi en la planta de El Dorado (Bogotá): tubería de 6 pulgadas (D₁=0.1524 m, A₁=0.01824 m²) se reduce a garganta de 3 pulgadas (D₂=0.0762 m, A₂=0.00456 m²). La diferencia de presión medida es ΔP=50 kPa. ¿Cuál es el caudal?
v₂²−v₁²=2ΔP/ρ=2×50,000/1000=100 m²/s². Con A₁v₁=A₂v₂: v₂=v₁×4. 15v₁²=100→v₁=2.582 m/s. Q=A₁×v₁=0.01824×2.582=0.0471 m³/s=47.1 L/s.
La Empresa de Acueducto y Alcantarillado de Bogotá (EAAB) opera el sistema hídrico de la capital colombiana con 8 millones de usuarios, 8 plantas de tratamiento de agua potable y más de 2,600 km de tuberías de aducción y distribución. Los medidores Venturi son la tecnología estándar para medir grandes caudales en las plantas de tratamiento, porque no tienen partes móviles (alta confiabilidad), generan poca pérdida de carga permanente (eficiencia energética), y dan alta precisión con caudales variables. La EAAB distribuye un promedio de 14 m³/s de agua potable diariamente en toda Bogotá.
3 Consejos de Expertos para Ingenieros Hidráulicos y Técnicos
La ecuación de Bernoulli asume fluido ideal: en la práctica, añade el término de pérdidas de carga hf
La ecuación real para fluidos reales es: P₁+½ρv₁²+ρgh₁ = P₂+½ρv₂²+ρgh₂+ρg×hf, donde hf es la pérdida de carga (en metros de columna de fluido) por fricción en tuberías (Darcy-Weisbach: hf=f×L×v²/(D×2g)) y pérdidas locales (codos, válvulas: hf=k×v²/(2g)). En tuberías largas de distribución de agua urbana, las pérdidas de carga pueden ser de decenas de metros, y son la razón por la que se necesitan estaciones de bombeo para mantener la presión en redes extensas.
La presión siempre en unidades absolutas o consistentemente en relativa: no mezclar Pa con bar o kPa
La ecuación de Bernoulli trabaja con presión absoluta (Pa). La presión atmosférica estándar es 101,325 Pa=1.01325 bar=14.696 psi. Si el problema da presiones manométricas (relativas a la atmósfera), suma 101,325 Pa antes de calcular. Las presiones típicas en redes de agua potable son 150-500 kPa manométricas (1.5-5 bar). En plantas de tratamiento, los sistemas de dosificación trabajan a 3-10 bar. La conversión: 1 bar=100,000 Pa; 1 m.c.a. (metro de columna de agua)=9806.65 Pa≈9.81 kPa.
La velocidad máxima recomendada en tuberías de agua potable es 1.5-3 m/s para evitar erosión y ruido
En redes de distribución de agua potable (AWWA, NOM-001-CONAGUA), la velocidad máxima recomendada es 1.5 m/s en tuberías de distribución y 3 m/s en tuberías de aducción principales. Velocidades mayores generan: pérdidas de carga excesivas (proporcionales a v²), erosión de tuberías (especialmente en codos), golpe de ariete destructivo al cerrar válvulas, y ruido. El golpe de ariete: al cerrar rápidamente una válvula en una tubería con velocidad v, la sobrepresión es ΔP≈ρ×c×v, donde c≈1200 m/s es la velocidad del sonido en agua. Para v=3 m/s: ΔP≈1000×1200×3=3.6 MPa=36 bar: capaz de romper tuberías.
16 Preguntas Frecuentes (FAQs) sobre la Ecuación de Bernoulli
¿Qué establece la ecuación de Bernoulli?
La ecuación de Bernoulli establece que en un fluido ideal incompresible en flujo estacionario: P + ½ρv² + ρgh = constante a lo largo de una línea de corriente. En dos puntos: P₁ + ½ρv₁² + ρgh₁ = P₂ + ½ρv₂² + ρgh₂. Los tres términos representan energía de presión, cinética y potencial por unidad de volumen. La suma es constante: la energía se convierte entre formas pero no se crea ni destruye.
¿Cuáles son las hipótesis de la ecuación de Bernoulli?
La ecuación de Bernoulli vale bajo estas condiciones: (1) Flujo estacionario: las propiedades en cada punto no cambian con el tiempo. (2) Fluido incompresible: densidad ρ constante (válido para líquidos; para gases solo a baja velocidad, Ma<0.3). (3) Sin viscosidad: fluido ideal sin fricción (aproximación: válida lejos de paredes). (4) A lo largo de una línea de corriente: no entre líneas de corriente distintas. En la práctica, se usa con un término de corrección por pérdidas de carga para fluidos reales.
¿Qué es la presión dinámica y la presión estática?
La presión estática P es la presión real que ejerce el fluido sobre las paredes del conducto, medida por un sensor en reposo respecto al fluido. La presión dinámica q = ½ρv² es la presión cinética asociada a la velocidad del fluido. La presión total o de remanso P_total = P + ½ρv² es la presión que se mediría deteniendo el fluido completamente (pitot). Los tubos de Pitot en aviones y drones miden la presión total y la estática para calcular la velocidad del avión: v=√(2(P_total−P)/ρ_aire).
¿Cómo se calcula el caudal con un medidor Venturi?
Q=Cd×A₂×√(2ΔP/(ρ×(1−(A₂/A₁)²))), donde Cd≈0.98-0.99 es el coeficiente de descarga del Venturi (casi perfecto para este tipo de medidor). Simplificando cuando A₂<
¿Por qué los aviones vuelan? (Bernoulli y la sustentación)
El perfil alar (ala del avión) tiene forma asimétrica: la superficie superior es más curva que la inferior. El aire que pasa por arriba debe recorrer mayor distancia que el de abajo en el mismo tiempo, por lo que va más rápido. Por Bernoulli, mayor velocidad → menor presión. La presión menor encima y mayor debajo crea una fuerza neta hacia arriba: la sustentación. L=½ρv²×S×CL, donde CL es el coeficiente de sustentación. En realidad, la sustentación tiene múltiples causas (la desviación del flujo por la ala también contribuye), pero Bernoulli explica el componente de diferencia de presión.
¿Qué es el golpe de ariete y cómo se relaciona con Bernoulli?
El golpe de ariete ocurre cuando se cierra bruscamente una válvula en una tubería con flujo. La energía cinética del fluido se convierte en energía de presión (Bernoulli), generando una onda de presión que se propaga a la velocidad del sonido en el fluido. La sobrepresión máxima es ΔP=ρ×c×v (Joukowsky). Para agua (c≈1200 m/s) a v=2 m/s: ΔP=1000×1200×2=2.4 MPa=24 bar. Las tuberías del sistema de agua potable de Lima (red principal: presión nominal 16 bar) se diseñan para resistir estas sobrepresiones con cierre lento de válvulas y/o cámaras anticarnero.
¿Qué es la altura piezométrica y la línea de energía en hidráulica?
La altura piezométrica hp = P/(ρg) + h representa la energía de presión y potencial en metros de columna de fluido. La altura total o de energía H = P/(ρg) + v²/(2g) + h es la suma de los tres términos de Bernoulli expresados en metros. La línea de energía traza H a lo largo del conducto: es constante para fluido ideal (sin pérdidas), y decrece en la dirección del flujo para fluidos reales. La diferencia de energía entre dos puntos da las pérdidas de carga (hf). Este lenguaje de «metros de columna de agua» es el estándar en ingeniería hidráulica latinoamericana para diseño de acueductos y sistemas de riego.
¿Qué densidad tiene el agua a diferentes temperaturas?
El agua tiene densidad máxima de 999.97 kg/m³ a 4°C. A temperaturas prácticas: 0°C=999.84, 10°C=999.70, 20°C=998.20, 40°C=992.22, 60°C=983.20, 80°C=971.82, 100°C=958.37 kg/m³. La disminución de densidad con la temperatura es relevante en sistemas de calefacción por agua caliente: el agua caliente sube (menos densa) y la fría baja, creando convección natural. Los sistemas de calefacción por piso radiante en países de clima frío como el sur de Chile o Argentina se diseñan con estas variaciones de densidad.
¿Cómo funciona el efecto Venturi en un carburador de motocicleta?
El carburador de motocicleta (o coche antiguo) usa el efecto Venturi: el aire de admisión pasa por una constricción (garganta del carburador) donde su velocidad aumenta y su presión cae por debajo de la atmosférica. La baja presión aspira gasolina desde el surtidor (inyector), que se atomiza y mezcla con el aire. La cantidad de mezcla se controla con la mariposa de aceleración. Los carburadores fueron la tecnología estándar hasta los años 1980-2000, cuando la inyección electrónica los reemplazó por mayor precisión, menor emisión y mejor eficiencia. En América Latina, millones de motocicletas de trabajo (mototaxis en Lima, Bogotá, Iquitos) siguen usando carburadores por su simplicidad y bajo costo de mantenimiento.
¿Qué es el número de Reynolds y cuándo falla Bernoulli?
El número de Reynolds Re = ρvD/μ (μ=viscosidad dinámica) determina si el flujo es laminar (Re<2300) o turbulento (Re>4000). Bernoulli es estrictamente válido para flujo laminar sin viscosidad. Para flujo turbulento (Re>>4000, el caso común en tuberías de agua a velocidades prácticas): se necesita el término de pérdidas de carga hf (Darcy-Weisbach). El coeficiente de fricción f varía con Re y la rugosidad relativa (diagrama de Moody). En tuberías de PVC liso (ε≈0.0015 mm), f≈0.01-0.02. En tuberías de hierro fundido viejas (ε≈0.25 mm), f≈0.02-0.04.
¿Qué es la cavitación y cómo se evita?
La cavitación ocurre cuando la presión local cae por debajo de la presión de vapor del líquido (para agua a 20°C: p_vapor=2340 Pa). Por Bernoulli, esto sucede donde la velocidad es muy alta (constricción extrema, impulsor de bomba). Se forman burbujas de vapor que implosionan violentamente al llegar a zonas de mayor presión, generando ondas de choque que erosionan las superficies metálicas (álabe de bomba, hélice de barco). Las bombas centrífugas se diseñan con NPSH (Net Positive Suction Head) para garantizar que la presión en la succión sea suficientemente mayor que p_vapor para evitar cavitación. Es un problema crítico en bombas de la industria petrolera venezolana y minera chilena.
¿Cómo se calcula el tiempo de vaciado de una pileta o cisterna?
Por el teorema de Torricelli y la ecuación diferencial de vaciado: t = (A_tanque/A_orificio) × √(2h₀/g), donde h₀ es la altura inicial de líquido. Esta fórmula asume orificio mucho menor que el área del tanque (A_ori << A_tanque). Ejemplo: cisterna de 2m × 2m (A_t=4 m²), altura h=2m, orificio de 5cm de diámetro (A_ori=0.001963 m²): t=(4/0.001963)×√(2×2/9.81)=2038×0.638=1300 s≈21.7 min. En edificios de CDMX o Buenos Aires con cisternas de agua de emergencia (apagones o cortes), este cálculo determina cuánto tiempo dura el agua disponible.
¿Cuánto vale 1 Pascal en metros de columna de agua?
1 Pa = 1 N/m² = 1/(ρg) m de c.a. = 1/(998×9.81) m = 0.000102 m = 0.102 mm de c.a. (a 20°C). Inversamente: 1 m.c.a. = ρgh = 998×9.81×1 = 9790 Pa ≈ 9.79 kPa. Conversiones prácticas: 1 bar = 100 kPa ≈ 10.2 m.c.a.; 1 atm = 101.325 kPa ≈ 10.33 m.c.a.; 1 psi = 6.895 kPa ≈ 0.703 m.c.a. La presión de la red de agua potable domiciliaria en México (NOM-001-CONAGUA-2021) exige mínimo 1.5 m.c.a. (≈15 kPa) en la toma y máximo 40 m.c.a. (≈390 kPa) para evitar fugas y roturas.
¿Cómo se usa Bernoulli en el diseño de sistemas de riego por goteo?
En sistemas de riego por goteo (usados extensivamente en regiones áridas de México, Chile, Perú y Argentina), Bernoulli se aplica para: (1) calcular la presión necesaria para vencer la altura de elevación (ρgh) más las pérdidas de fricción; (2) dimensionar la tubería principal y las subunidades para que todos los goteros reciban un caudal uniforme (diferencia de presión entre primero y último gotero menor al 10-15%); (3) diseñar filtros Venturi para inyectar fertilizantes en la línea (fertirrigación). La presión típica de operación de los goteros es 100-150 kPa (1-1.5 bar). Los goteros autodrenantes y compensadores de presión usan membranas elastoméricas que modulan la apertura de paso para mantener Q constante ante variaciones de presión de entrada.
¿Qué es el coeficiente de descarga Cd de un orificio?
El coeficiente de descarga Cd corrige la velocidad de Torricelli para cuentas reales (viscosidad, contracción del chorro): Q_real = Cd × A × √(2gh). Cd depende de la forma del orificio: orificio de filo agudo: Cd≈0.61; orificio redondeado: Cd≈0.82; tubería corta: Cd≈0.80-0.85; tobera de Venturi: Cd≈0.98. Para compuertas de canales de irrigación en las cuencas del Nilo, Ganges o Paraná, se usa Cd medido experimentalmente para calibrar los aforos de agua. Las compuertas de las presas chilenas (SQM, CODELCO en minería) y colombianas (Guatapé, Betania) usan coeficientes de descarga calibrados en modelos hidráulicos a escala.
¿Cómo funciona un atomizador o pulverizador de pintura con Bernoulli?
Los atomizadores o pistolas de pintura (aerógrafo, pistola de HVLP) usan el efecto Venturi: el aire comprimido pasa por una boquilla estrecha y crea baja presión que aspira la pintura desde el depósito inferior. La pintura entra en la corriente de aire de alta velocidad y se atomiza en gotitas microscópicas. El caudal de pintura se controla ajustando el tamaño del orificio de pintura y la presión de aire. La presión de trabajo típica es 1.5-5 bar (150-500 kPa). Los talleres de pintura automotriz en América Latina (México es el 4° mayor mercado de autos del mundo) usan pistolas HVLP que operan a menor presión pero mayor volumen de aire para reducir la atomización de exceso y el desperdicio de pintura.
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Metodología y referencias
g=9.80665 m/s² (ISO 80000-3). Modo 1: Bconst=Big(P1).plus(Big(0.5).times(rho).times(v1²)).plus(Big(rho).times(g).times(h1)). P₂=Big(Bconst).minus(…). v₂=Math.sqrt(v1²+2(P1−P2)/rho+2g(h1−h2)). Modo 2: v₂=Big(v1).times(A1).div(A2); ΔP=Big(0.5).times(rho).times(v2²−v1²). Modo 3: v=Math.sqrt(2gh); t=(A_tank/A_ori)×√(2h/g). Densidades de fluidos a temperatura nominal especificada. La ecuación de Bernoulli asume flujo ideal (sin viscosidad, incompresible, estacionario). Referencias: SACMEX Ciudad de México. EAAB Colombia. Itaipú Binacional. PlanetaCalculadoras.com no asume responsabilidad por el uso de estos resultados en aplicaciones de ingeniería hidráulica sin validación profesional.
