Calculadora de Combinaciones y Permutaciones Online 2026: C(n,r) y P(n,r) con y sin Repetición, Pasos y Probabilidad
La calculadora de combinaciones y permutaciones más completa en español. Calcula simultáneamente P(n,r) y C(n,r) sin repetición con pasos detallados, n^r y C(n+r-1,r) con repetición, la probabilidad de sorteo asociada, y una gráfica comparativa de escala logarítmica. Precisión exacta con Big.js hasta n=500. PDF y WhatsApp incluidos.
Sin repetición: P(n,r) y C(n,r)
Resultado
Ingresa n y r y presiona Calcular
Qué son las permutaciones y combinaciones y cuándo usar cada una
Cuando necesitas contar cuántas formas hay de seleccionar o arreglar elementos de un conjunto, la primera pregunta que debes hacerte siempre es la misma: ¿el orden importa? De esa sola respuesta depende todo el cálculo. Si el orden importa, estás ante una permutación. Si el orden no importa, estás ante una combinación. Esta distinción es la base de la combinatoria y afecta dramáticamente el resultado: con n=10 y r=3, la permutación P(10,3)=720, pero la combinación C(10,3)=120. La diferencia es exactamente r!=3!=6 veces, porque en una permutación los 6 posibles órdenes de los 3 elementos elegidos cuentan como arreglos distintos, mientras que en una combinación todos esos órdenes son el mismo grupo.
La combinatoria es materia obligatoria en bachillerato y en las primeras semanas de estadística, probabilidad, informática y ciencias en todas las universidades de América Latina. El COMIPEMS en México, el Icfes Saber 11 en Colombia, la PAES en Chile y el PAAU en Perú incluyen problemas de permutaciones y combinaciones de forma regular. Pero sus aplicaciones van mucho más allá del aula: diseño de contraseñas seguras, cálculo de probabilidades de lotería, planificación de torneos deportivos, diseño de experimentos científicos, y gestión de inventarios combinatorios en logística.
Permutación: cuando el orden sí importa y la fórmula P(n,r)
Una permutación de r elementos tomados de n es un arreglo ordenado donde el orden de selección sí distingue resultados distintos. La fórmula es P(n,r) = n!/(n-r)!, que equivale al producto n×(n-1)×…×(n-r+1). Ejemplo concreto: un entrenador de fútbol en México tiene 22 jugadores (n=22) y necesita elegir quién juega como delantero, quién como mediocampista y quién como defensa (3 posiciones distintas, r=3). El orden importa porque el delantero y el defensa son roles diferentes. P(22,3) = 22×21×20 = 9,240 combinaciones posibles de asignación de roles. Si los tres roles fueran idénticos (solo importara qué 3 jugadores salen), sería una combinación: C(22,3) = 1,540 grupos posibles, muchísimo menos.
La clave sintáctica: si el problema dice «arreglar», «ordenar», «asignar a posiciones», «el primero gana diferente que el segundo», usa permutación. Si dice «elegir un grupo», «seleccionar sin importar quién va primero», usa combinación. Esta calculadora muestra ambos resultados simultáneamente para que puedas comparar y elegir el correcto según tu problema.
Combinación: cuando el orden no importa y la fórmula C(n,r)
Una combinación es una selección de r elementos de un conjunto de n donde no importa el orden. La fórmula es C(n,r) = n!/(r!×(n-r)!) = P(n,r)/r!. El factor r! en el denominador «cancela» todas las formas de ordenar los r elementos seleccionados, dándoles el mismo peso. C(n,r) también se escribe como «n sobre r» usando la notación binomial y corresponde exactamente a los elementos del Triángulo de Pascal en la fila n, posición r.
Las propiedades más útiles de las combinaciones: C(n,0)=1, C(n,n)=1, C(n,r)=C(n,n-r) (simetría), y la identidad de Pascal C(n,r)=C(n-1,r-1)+C(n-1,r). La propiedad de simetría dice que elegir r elementos es equivalente a elegir los n-r que NO seleccionas: C(50,48)=C(50,2)=1,225, mucho más fácil de calcular. Esta calculadora aplica automáticamente esta optimización.
Permutaciones y combinaciones CON repetición: contraseñas, dados y múltiples selecciones
Cuando el mismo elemento puede aparecer más de una vez en la selección, las fórmulas cambian completamente. Permutaciones con repetición: si tienes n opciones y debes llenar r posiciones (repitiendo opciones), el total es n^r. Un PIN de 4 dígitos (0-9, con repetición): 10^4 = 10,000 PINs posibles. Una contraseña de 8 caracteres con 26 letras minúsculas y repetición permitida: 26^8 = 208,827,064,576 posibilidades. Combinaciones con repetición: si seleccionas r elementos de n tipos y el orden no importa pero puedes repetir el mismo tipo, la fórmula es C(n+r-1, r). Ejemplo: cuántas combinaciones de 3 sabores de helado (con repetición) si hay 5 sabores disponibles: C(5+3-1, 3) = C(7,3) = 35 combinaciones. Esta calculadora implementa exactamente estas cuatro fórmulas con Big.js para precisión total.
La diferencia clave entre P(n,r) y C(n,r): el factor r!
La relación entre permutación y combinación es exacta y elegante: P(n,r) = C(n,r) × r!. El factor r! es el número de formas de ordenar los r elementos que ya elegiste. Para r=3: r!=6, por lo que siempre hay 6 veces más permutaciones que combinaciones para el mismo par (n,r). Esta relación permite calcular cualquiera de las dos a partir de la otra, y confirma que si los grupos de 3 personas en un comité se cuentan como permutaciones (importa quién es presidente, secretario, tesorero), el resultado es 6 veces mayor que si se cuentan como combinaciones (solo importa quiénes son los 3). La calculadora muestra explícitamente esta relación con los valores reales en los resultados.
Cómo funciona esta calculadora de combinaciones y permutaciones
Esta herramienta opera en dos modos que cubren los cuatro tipos principales de cálculo combinatorio que aparecen en el currculo educativo latinoamericano y en aplicaciones del mundo real.
Modo 1: Cálculo sin repetición con pasos y comparativa
Ingresas n (total de elementos disponibles) y r (cuántos seleccionar, donde r ≤ n). La calculadora computa simultáneamente P(n,r) y C(n,r) usando Big.js para aritmética exacta, evitando los errores de redondeo que afectan a calculadoras que usan Math.factorial() estándar de JavaScript (que falla a partir de n=21 por límites del punto flotante). Muestra los pasos del cálculo de cada una, la relación P=C×r! con los valores reales, y la probabilidad de ganar un sorteo de r de n elementos (1/C(n,r)), muy útil para calcular probabilidades de loterías. La gráfica de barras dobles en escala logarítmica muestra P(n,k) y C(n,k) para k=0 hasta min(n,8), permitiendo ver visualmente cómo divergen P y C a medida que r crece.
Modo 2: Cálculo con repetición: n^r y C(n+r-1,r)
Ingresas n (número de tipos distintos disponibles) y r (número de posiciones a llenar, con repetición permitida). La calculadora calcula n^r usando Big.pow() (método nativo de Big.js para potencias enteras de precisión arbitraria) y C(n+r-1,r) usando la fórmula de combinaciones con repetición estándar. Muestra los pasos de cada cálculo y una gráfica comparando n^k vs C(n+k-1,k) para k=0..8, revelando visualmente la diferencia explosiva entre ambas funciones y cómo las permutaciones con repetición crecen muchísimo más rápido que las combinaciones con repetición.
3 Ejemplos Reales de Combinaciones y Permutaciones en América Latina
Caso 1: Lotería Baloto Colombia
El Baloto de Colombia requiere elegir 5 números del 1 al 43 (sin repetición, el orden no importa). ¿Cuántas combinaciones posibles existen para el premio mayor?
Usamos Modo 1: n=43, r=5. C(43,5) = 43!/(5!×38!) = 43×42×41×40×39/(5×4×3×2×1).
Esta probabilidad extremadamente baja explica por qué los grandes premios acumulan semana tras semana. Nota que si el orden importara (permutación): P(43,5) = 962,598 × 120 = 115,511,760, ochenta millones de veces más difícil de adivinar. En Colombia, el Baloto es regulado por Coljuegos, que publica las probabilidades de cada modalidad. Conocer C(43,5) es la base para entender cuán rara es la combinación ganadora.
Caso 2: Contraseñas seguras en Chile
Un banco en Santiago exige contraseñas de 8 caracteres usando letras minúsculas (26), mayúsculas (26) y números (10) con repetición permitida. ¿Cuántas contraseñas son posibles? ¿Y si no se permite repetir?
Con repetición: 62^8 = 218,340,105,584,896 (Modo 2, n=62, r=8). Sin repetición y con orden: P(62,8) (Modo 1, n=62, r=8).
Sorpresa: el espacio con repetición (218 billones) es mayor que el sin repetición (136 billones) porque la repetición agrega opciones para los caracteres finales. La CMF de Chile y los estándares PCI-DSS exigen a los bancos chilenos que sus sistemas soporten contraseñas con al menos 10^12 (un billón) de combinaciones posibles para resistir ataques de fuerza bruta. 62^8 supera ampliamente ese umbral.
Caso 3: Comité universitario en México
La UNAM tiene 30 profesores candidatos para un comité de investigación. Necesitan elegir 5 miembros con roles idénticos (comité sin jerarquía). Luego necesitan asignar 5 roles distintos (presidente, secretario, tesorero, vocal 1, vocal 2) de los mismos 30 candidatos.
Sin jerarquía (combinación): C(30,5). Con roles distintos (permutación): P(30,5).
La diferencia es P/C = 5! = 120 veces: hay 120 formas de asignar los 5 roles a los mismos 5 personas elegidas. La UNAM y otras universidades públicas de México regulan la conformación de comités académicos en sus estatutos internos, donde la distincón entre grupos con y sin jerarquía es crucial para los procesos de elección. Usar la fórmula equivocada multiplicaría el resultado por 120 innecesariamente.
3 Consejos de Expertos para Resolver Problemas de Combinatoria
La primera pregunta siempre es: ¿importa el orden?
Antes de aplicar cualquier fórmula, identifica si tu problema distingue entre arreglos con los mismos elementos en distinto orden. Palabras clave de permutación: «orden», «arreglo», «secuencia», «primer lugar/segundo lugar», «asignar roles», «código», «contraseña». Palabras clave de combinación: «grupo», «comité», «equipo», «seleccionar», «elegir», «subconjunto». Si no ves ninguna de estas palabras, piensa en un ejemplo concreto: ¿si cambio el orden de los elementos seleccionados, obtengo algo diferente?
Usa la propiedad C(n,r) = C(n,n-r) para simplificar
Cuando r es grande (mayor que n/2), calcular C(n,r) directamente requiere muchas multiplicaciones. Pero C(n,r) = C(n, n-r), así que siempre calcula con el menor de r y n-r. C(100,97) = C(100,3) = 161,700, un cálculo en 3 pasos en vez de 97. Esta calculadora aplica esta optimización automáticamente. En examen, esta propiedad te ahorra tiempo valioso: identifica si n-r es menor que r y reduce el problema.
Para problemas complejos, divide en etapas independientes y multiplica
Muchos problemas reales son combinaciones de varias elecciones independientes. Para contar los arreglos totales, usa el Principio Fundamental del Conteo: multiplica los conteos de cada etapa independiente. Ejemplo: una contraseña de 3 letras (26^3 o P(26,3) si no repite) seguida de 2 números (10^2 o P(10,2)) son eventos independientes: el total es el producto de ambas. Dividir el problema en etapas simples antes de calcular evita el error de sumar donde se debe multiplicar.
16 Preguntas Frecuentes sobre Combinaciones y Permutaciones
¿Cuál es la diferencia entre permutación y combinación?
La diferencia es si el orden importa. En una permutación, los arreglos con los mismos elementos en diferente orden se cuentan como distintos. En una combinación, no importa el orden: solo qué elementos se eligieron. P(n,r) = C(n,r) × r!. Para el mismo par (n,r), siempre P ≥ C.
¿Qué significa P(n,r) y cómo se calcula?
P(n,r) es el número de permutaciones de r elementos elegidos de un conjunto de n, sin repetición. Fórmula: P(n,r) = n! / (n-r)! = n×(n-1)×…×(n-r+1). Ejemplo: P(5,2) = 5×4 = 20. Representa arreglos ordenados donde el orden importa.
¿Qué significa C(n,r) y cómo se calcula?
C(n,r) es el número de combinaciones de r elementos elegidos de n, sin repetición. Fórmula: C(n,r) = n! / (r! × (n-r)!). Ejemplo: C(5,2) = 10. Representa selecciones donde el orden no importa. También se escribe como «5 sobre 2» o como coeficiente binomial.
¿Qué son las permutaciones con repetición?
Son arreglos ordenados donde cada elemento puede usarse más de una vez. La fórmula es n^r: si tienes n opciones y r posiciones, el total es n elevado a la r. Ejemplo: contraseñas numéricas de 4 dígitos (0-9): 10^4 = 10,000 posibilidades.
¿Qué son las combinaciones con repetición?
Son selecciones donde el orden no importa y cada elemento puede repetirse. Fórmula: C(n+r-1, r). Ejemplo: elegir 3 refrescos (con repetición) de 5 sabores disponibles: C(5+3-1, 3) = C(7,3) = 35 formas. Es la fórmula «estrellas y barras» de combinatoria.
¿Por qué P(n,r) = C(n,r) × r!?
Porque cada combinación (grupo sin orden) puede ordenarse de r! formas distintas. Al multiplicar el número de grupos por todas las formas de ordenarlos, obtienes el número total de arreglos ordenados. Ejemplo: C(4,2)=6 grupos y 2!=2 órdenes por grupo dan P(4,2)=12 permutaciones.
¿Cómo se usa C(n,r) para calcular probabilidades de lotería?
Si en una lotería se eligen r bolas de n (sin orden, sin repetición), la probabilidad de acertar todos es 1/C(n,r). Para el Melate de México (6 de 56): P = 1/C(56,6) = 1/12,913,583 ≈ 0.0000077%. Cuanto mayor es C(n,r), menor es la probabilidad de ganar.
¿Cuál es la propiedad de simetría de las combinaciones?
C(n,r) = C(n, n-r). Elegir r elementos equivale a elegir los n-r que quedan fuera. C(10,7) = C(10,3) = 120. Esta propiedad simplifica el cálculo: siempre usa el menor entre r y n-r. También explica que el Triángulo de Pascal es simétrico en cada fila.
¿Qué es el Triángulo de Pascal y cómo se relaciona con C(n,r)?
El Triángulo de Pascal es una disposición triangular donde el elemento en la fila n y posición r (contando desde 0) es exactamente C(n,r). Cada elemento es la suma de los dos que están encima: C(n,r) = C(n-1,r-1) + C(n-1,r). La fila n contiene todos los C(n,k) para k=0..n, y su suma es 2^n.
¿Cuándo se usa permutación vs combinación en un concurso o examen?
Permutación: «¿de cuántas formas pueden quedar el 1ro, 2do y 3ro de 10 corredores?» (el orden importa: primer lugar ≠ segundo). Combinación: «¿cuántos equipos de 3 jugadores se pueden formar con 10?» (el orden dentro del equipo no importa). Si la palabra «posición», «cargo», «lugar», «turno» aparece, usa permutación.
¿Cómo se aplica la combinatoria en ciberseguridad?
El espacio de contraseñas es una permutación con repetición (n^r). Para medir qué tan difícil es crackear una contraseña por fuerza bruta, se calcula n^r donde n es el tamaño del alfabeto y r la longitud. 26 letras minúsculas, 8 caracteres: 26^8 ≈ 208 mil millones. Añadir mayúsculas y números (62 caracteres): 62^8 ≈ 218 billones. El NIST y los estándares de seguridad informática requieren que las contraseñas tengan al menos 10^14 posibilidades.
¿Puede C(n,r) ser mayor que P(n,r)?
No. Siempre P(n,r) ≥ C(n,r) para los mismos valores de n y r, con igualdad solo cuando r=0 (ambas son 1) o r=1 (ambas son n). Para cualquier r ≥ 2, P > C porque P = C × r! y r! ≥ 2 para r ≥ 2. Es imposible obtener más combinaciones que permutaciones con los mismos parámetros.
¿Qué es el Principio Fundamental del Conteo?
Si una tarea tiene k etapas independientes, con n₁ formas de hacer la primera, n₂ la segunda, etc., el total de formas de completar todas las etapas es n₁ × n₂ × … × n_k. Ejemplo: un menú con 3 entradas, 5 platos fuertes y 4 postres ofrece 3×5×4 = 60 menús distintos. Este principio es la base de toda la combinatoria y permite descomponer problemas complejos en partes simples.
¿Para qué sirven las combinaciones con repetición C(n+r-1,r)?
Para contar selecciones donde el orden no importa y los elementos pueden repetirse. Ejemplos: sabores de helado en un cono (puedes pedir 3 bolas del mismo sabor), ingredientes en una mezcla (puedes usar más de una vez el mismo), distribuciones de monedas entre personas. La fórmula C(n+r-1,r) proviene del modelo «estrellas y barras»: distribuir r elementos idénticos en n categorías.
¿Existe permutación de todos los elementos P(n,n)?
Sí. P(n,n) = n! (n factorial). Es el número de formas de ordenar todos los n elementos de un conjunto. Para 5 personas sentadas en 5 sillas: P(5,5) = 5! = 120 disposiciones posibles. Este es el concepto más básico de permutación y el origen de la fórmula general P(n,r) = n!/(n-r)!, donde al hacer r=n se obtiene n!/0! = n!/1 = n!.
¿Por qué C(n,0) = 1 y P(n,0) = 1?
Ambas son 1 porque existe exactamente una forma de no elegir nada: el conjunto vacío. Por definición, 0! = 1, así que C(n,0) = n!/(0!×n!) = 1/1 = 1 y P(n,0) = n!/n! = 1. Esto es consistente con el Principio Combinatorio: hay una sola «nada» independientemente de cuántos elementos haya en el conjunto original.
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Aviso Legal y Transparencia Editorial
Metodología matemática utilizada
Esta calculadora implementa P(n,r) como producto directo n×(n-1)×…×(n-r+1) con Big.js, C(n,r) con la optimización de simetría (usa min(r,n-r)), n^r con Big.pow() nativo, y C(n+r-1,r) con la fórmula estándar. Todos los cálculos usan precisión arbitraria con Big.js v6, evitando los errores de punto flotante de JavaScript estándar. La gráfica usa escala logarítmica para permitir la comparación visual de valores con diferencias de órdenes de magnitud.
Referencias y curriculum
Las fórmulas implementadas corresponden al currículo de matemáticas de bachillerato y primeros semestres universitarios en México (SEP), Colombia (Mineducación) y Argentina (Ministerio de Educación). PlanetaCalculadoras.com no asume responsabilidad por decisiones basadas en estos cálculos.
